[论文解读] Symmetry-enriched topological order in tensor networks: Defects, gauging and anyon condensation

Dominic J. Williamson, Nick Bultinck+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Quantum many-body systems被引用 38

一句话总结

本文提出了一种使用分级矩阵乘积算符（MPO）代数描述对称性丰富拓扑（SET）序的张量网络框架，用于描述对称性畴壁和任意子缺陷。该研究建立了与分级单位融合范畴的联系，通过规范化和任意子凝结推导出涌现的拓扑序，并构建了用于计算模数据和缺陷量子数选择代数的图解演算。

ABSTRACT

We study symmetry-enriched topological order in two-dimensional tensor network states by using graded matrix product operator algebras to represent symmetry induced domain walls. A close connection to the theory of graded unitary fusion categories is established. Tensor network representations of the topological defect superselection sectors are constructed for all domain walls. The emergent symmetry-enriched topological order is extracted from these representations, including the symmetry action on the underlying anyons. Dual phase transitions, induced by gauging a global symmetry, and condensation of a bosonic subtheory, are analyzed and the relationship between topological orders on either side of the transition is derived. Several examples are worked through explicitly.

研究动机与目标

• 开发一种基于分级矩阵乘积算符（MPO）代数的系统化张量网络描述方法，用于描述二维系统中的对称性丰富拓扑（SET）序。
• 通过MPO的代数结构，建立SET序与分级单位融合范畴之间的对应关系。
• 从MPO表示和缺陷量子数选择代数中推导出涌现的拓扑序及任意子上的对称性作用。
• 通过规范化全局对称性和任意子凝结分析对偶相变，并通过莫里塔等价性将其联系起来。
• 构建图解演算以计算拓扑不变量，如模矩阵和SET相中的拓扑纠缠熵。

提出的方法

• 使用来自（分级）单位融合范畴的输入数据构建对称性丰富弦网张量网络，并定义满足群拉链条件的MPO张量。
• 实现MPO的“穿插”方程，以确保与拓扑序及任意子上对称性作用的一致性。
• 定义缺陷管代数，用于分类对称性畴壁的量子数选择代数，并使用不可约中心幂等元（ICIs）将其分块对角化。
• 推导出$ ilde{ ho}$-扭曲的最小纠缠态和$ ilde{ ho}$-交叉模矩阵，以表征对称性扭曲的拓扑序。
• 利用$ ilde{ ho}$-交叉模矩阵计算缺陷任意子的拓扑纠缠熵和融合规则。
• 应用MPO代数之间的莫里塔等价性，对与规范化对偶的任意子凝结相变进行分类，并为边界CFT构造广义奇异关联函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用分级MPO代数在张量网络态中系统化地描述对称性丰富拓扑序？
• RQ2 SET相中对称性畴壁的代数结构是什么？它与分级单位融合范畴有何关系？
• RQ3 在张量网络态和拓扑相变的背景下，规范化全局对称性与任意子凝结之间有何关系？
• RQ4 缺陷管代数在分类量子数选择代数和计算SET序中的拓扑不变量方面起什么作用？
• RQ5 如何通过SET张量网络构造的广义奇异关联函数实现已知的统计力学模型和边界CFT？

主要发现

• 本文建立了$ ilde{ ho}$-分级MPO代数与$ ilde{ ho}$-分级单位融合范畴之间的直接对应关系，为SET序提供了张量网络实现。
• 通过不可约中心幂等元（ICIs）对缺陷管代数进行分块对角化，实现了对称性畴壁的量子数选择代数的分类。
• 推导出$ ilde{ ho}$-交叉模矩阵，并证明其编码了在全局对称性存在下任意子的对称性扭曲统计互换和融合规则。
• 计算了缺陷量子数选择代数的拓扑纠缠熵，并证明其与预期值$ ilde{ ho} imes ext{rank}( ilde{ ho}) imes ext{log} d $一致，其中$ d $为量子维数。
• 通过MPO代数之间的莫里塔等价性对与规范化对偶的任意子凝结相变进行分类，具体实例包括到倍半子模型的相变。
• 从SET张量网络构造的广义奇异关联函数重现了已知模型，如伊辛模型和$bZ_3$ Potts模型，将边界CFT与有能隙的SET相联系起来。