[论文解读] System of equations and staggered solution algorithm for immiscible two-phase flow coupled with linear poromechanics

Saumik Dana|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2019

Enhanced Oil Recovery Techniques参考文献 38被引用 26

一句话总结

本文提出了一套耦合方程组及交错求解算法，用于模拟可变形多孔介质中的不混溶两相水-油流动，结合了流动问题的混合有限元法与多孔力学问题的协调伽辽金法。核心贡献在于一种鲁棒的单体求解策略，该策略确保质量守恒，并能处理流体可压缩性与毛细管压力效应，同时实现流体流动与固体变形之间的反馈。

ABSTRACT

This document is a presentation of the equations of simultaneous water and oil flow in deformable porous medium and linear poromechanics as well as the staggered solution algorithm to solve the coupled system of equations.

研究动机与目标

• 为可变形多孔介质中不混溶的两相水-油流动与线性多孔力学建立一致的数学模型。
• 解决传统模型忽略固体变形对流体流动动力学机械反馈的局限性。
• 以保持质量守恒与物理一致性的方式，纳入流体可压缩性、毛细管压力及相对渗透率效应。
• 设计一种数值算法，通过交错求解策略实现对耦合系统的稳定且精确求解。
• 确保在处理残余饱和度与可压缩流体行为引起的非线性与退化问题时具有鲁棒性。

提出的方法

• 推导了包含流体可压缩性与毛细管压力的守恒方程、达西定律及相压力关系的偏微分方程组。
• 引入基于增强BDDF-1速度空间的混合有限元格式，以确保局部质量守恒与精确的通量逼近。
• 采用交错求解算法：首先通过牛顿-拉夫森法线性化求解流动系统，随后使用协调伽辽金法求解多孔力学系统。
• 将多孔力学中的体积应变作为反馈项引入流动模型，同时将流动压力作为多孔力学方程中的源项。
• 通过变量变换 $\tilde{\textbf{z}}_{\beta} = \frac{1}{\tilde{\rho}_{\beta}} \textbf{z}_{\beta}$ 避免在残余饱和度处出现数值问题。
• 通过旋度基基函数对速度空间进行增强，确保单元面上法向速度的连续性，从而保持局部守恒性并支持多点通量逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为可变形多孔介质中不混溶的水-油流动与线性多孔力学建立一致且守恒的数学模型？
• RQ2 流体可压缩性与毛细管压力对两相系统中流体流动与固体变形之间耦合关系有何影响？
• RQ3 如何在求解算法中缓解由残余饱和度与退化相对渗透率引起的数值不稳定性？
• RQ4 何种最优的交错求解策略可确保在求解耦合流动-多孔力学系统时的稳定性和准确性？
• RQ5 体积应变对流体压力与饱和度的反馈如何影响整个系统的行为？

主要发现

• 所提出的交错算法通过在约束方程组上应用牛顿-拉夫森迭代，成功地将两相流动与线性多孔力学耦合起来。
• 采用增强BDDF-1速度空间的混合有限元法，即使在复杂相态行为下，也能确保局部质量守恒与精确的通量逼近。
• 通过指数密度模型 $\rho_{\beta} = \rho_{\beta 0} e^{c_{\beta}(p_{\beta}-p_{\beta 0})}$ 处理流体可压缩性，显著提升了可压缩流动区域的计算精度。
• 毛细管压力被建模为润湿相饱和度的函数，并考虑了滞后效应，同时系统考虑了临界饱和度与残余饱和度。
• 多孔力学对流动的反馈通过体积应变实现，其改变孔隙度，从而影响流体质量守恒与通量。
• 当引入可压缩性时，系统在饱和度上表现为抛物型；仅当同时忽略可压缩性与毛细管压力时，系统才退化为双曲型。