[论文解读] Szegö kernel asymptotics and Morse inequalities on CR manifolds with $S^1$ action

Chin-Yu Hsiao, Xiaoshan Li|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文為具有橫截 $S^1$ 作用的 CR 流形建立了弱与强莫尔斯不等式，推导了在刚性 CR 线丛 $L^k$ 值 $(0,q)$-型上的部分 Szegő 核的渐近估计。在不假设 Levi 形式条件的前提下，证明了当其曲率满足正性条件时，$L$ 是大线丛，将 Grauert-Riemenschneider 准则推广至 CR 设置。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected CR manifold of dimension $2n-1, n\geq 2$. We assume that there is a transversal CR locally free $S^1$ action on $X$. Let $L^k$ be the $k$-th power of a rigid CR line bundle $L$ over $X$. Without any assumption on the Levi-form of $X$, we obtain a scaling upper-bound for the partial Szegő kernel on $(0,q)$-forms with values in $L^k$. After integration, this gives the weak Morse inequalities. By a refined spectral analysis, we also obtain the strong Morse inequalities in CR setting. We apply the strong Morse inequalities to show that the Grauert-Riemenschneider criterion is also true in the CR setting.

研究动机与目标

• 为具有横截 $S^1$ 作用的 CR 流形建立弱与强莫尔斯不等式，将 Demailly 的全纯莫尔斯不等式推广至 CR 设置。
• 推导在 $L^k$ 值 $(0,q)$-型上的部分 Szegő 核的渐近估计，其中 $L^k$ 为刚性 CR 线丛 $L$ 的 $k$ 次幂。
• 在 CR 设置中证明 Grauert-Riemenschneider 准则，表明当其曲率满足正性条件时 $L$ 为大线丛。
• 消除以往工作中通常需要的关于 Levi 形式与 $L$ 的曲率之间关系的假设。
• 为研究 CR 嵌入及 $H^0_b(X, L^k)$ 的增长性提供一个框架，而无需依赖 $Y(0)$ 与 $Y(1)$ 条件。

提出的方法

• 使用缩放技术分析局部坐标中对角附近的 Szegő 核渐近性。
• 应用 Heisenberg 群模型研究 Szegő 核的局部行为并导出一致估计。
• 对 Kohn Laplacian 进行精细谱分析，以获得部分 Szegő 核函数 $\Pi_{\leq k\delta}^q$ 的精确上界。
• 对核估计进行积分，推导弱莫尔斯不等式，随后通过精炼得到强莫尔斯不等式。
• 使用与 $S^1$ 作用和 CR 结构相适应的规范局部坐标以简化分析。
• 利用 $S^1$-不变性将问题约化为商空间上的有限维谱分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设 Levi 形式条件的前提下，为具有 $S^1$ 作用的 CR 流形建立莫尔斯不等式？
• RQ2 在何种曲率条件下，刚性 CR 线丛 $L$ 的 $L^k$ 为大线丛，即 $\dim H^0_b(X, L^k) \gtrsim k^n$？
• RQ3 Grauert-Riemenschneider 准则在 CR 设置中是否成立，且独立于 Levi 形式的符号？
• RQ4 在缺乏 $Y(0)$ 与 $Y(1)$ 条件的情况下，能否使用缩放技术对 $(0,q)$-型上的部分 Szegő 核进行渐近估计？
• RQ5 在 CR 设置中，$L$ 的曲率与 $H^0_b(X, L^k)$ 的增长性之间的确切关系为何？

主要发现

• 在不假设 Levi 形式任何条件的前提下，建立了 $(0,q)$-型上部分 Szegő 核 $\Pi_{\leq k\delta}^q$ 的缩放上界。
• 对核估计进行积分，得到具有 $S^1$ 作用的 CR 流形的弱莫尔斯不等式。
• 通过精细谱分析，在 CR 设置中即使在无 $Y(0)$ 与 $Y(1)$ 条件下，也获得了强莫尔斯不等式。
• Grauert-Riemenschneider 准则在 CR 设置中成立：若曲率 $\mathcal{R}^L$ 在全纯切空间上为正定，则 $L$ 为大线丛。
• 在复 Heisenberg 群 $\mathscr{C}H_n$ 的例子中，若矩阵 $(\mu_{j,t})^{n-1}_{j,t=1}$ 为正定，则 $L$ 为大线丛。
• 对于复环面上的全纯线丛，若矩阵 $(\mu_{j,t})^{n-1}_{j,t=1}$ 为正定，则其在关联 CR 流形 $X$ 上的拉回线丛 $\pi^*L_\mu$ 为大线丛。