[论文解读] Tameness of Riemannian locally symmetric spaces arising from Anosov representations

Olivier Guichard, Fanny Kassel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文通过广义与最大Satake紧化构造了由Anosov表示产生的黎曼局部对称空间的紧化。通过证明商空间在Satake型紧化模型下具有轨道流形-带角结构，从而证明这些空间是拓扑驯服的——即微分同胚于带边界的紧流形的内部。

ABSTRACT

We construct compactifications of Riemannian locally symmetric spaces arising as quotients by Anosov representations. These compactifications are modeled on generalized Satake compactifications and, in certain cases, on maximal Satake compactifications. We deduce that these Riemannian locally symmetric spaces are topologically tame, i.e. homeomorphic to the interior of a compact manifold with boundary. We also construct domains of discontinuity (not necessarily with a compact quotient) in a much more general setting.

研究动机与目标

• 为由非格点、Zariski稠密子群产生的、具有无限体积的黎曼局部对称空间填补紧化理论的空白。
• 将此前仅适用于实秩一或几何有限群的紧化技术，推广至具有Anosov表示的高秩对称空间。
• 证明此类商空间是拓扑驯服的，即微分同胚于带边界的紧流形的内部。
• 通过射影表示推广Satake紧化，并定义具有函子性质的广义Satake紧化。
• 在紧商空间之外的更广范围内构造不连续域。

提出的方法

• 通过射影表示 τ: G → SL(n,C)，满足 τ(K) ⊂ PSU(n)，定义广义Satake紧化：将 X = G/K 嵌入射影空间，映射为 gK ↦ R(τ(g)τ(g)*)。
• 将该像在射影空间中的闭包作为广义Satake紧化，确保其与全测地子空间相容。
• 通过从X的广义Satake紧化中移除一个“坏集”N，构造ρ(Γ)\X的紧化，保持G-等变性与轨道流形结构。
• 证明：若广义Satake紧化支配最大Satake紧化，则其为带角流形，从而支持商空间的轨道流形-带角结构。
• 应用Iwasawa分解与Cartan分解，证明局部微分同胚性质，并建立紧化映射的局部单射性与满射性。
• 利用广义Satake紧化的函子性：全测地子对称空间 Y ⊂ X 的闭包在该紧化中即为Y的广义Satake紧化。

实验结果

研究问题

• RQ1 当ρ为Anosov表示且商空间具有无限体积时，能否为黎曼局部对称空间ρ(Γ)\X构造紧化？
• RQ2 这些紧化是否能实现拓扑驯服性——即商空间是否微分同胚于带边界的紧流形的内部？
• RQ3 紧化能否以X的最大Satake紧化为模型？对抛物子群P有何条件限制？
• RQ4 广义Satake紧化构造是否在限制到全测地子空间时保持函子性？
• RQ5 ‘坏集’N在构造中起什么作用？其移除如何使商空间的紧化具有良好性质？

主要发现

• 商空间ρ(Γ)\X admits a compactification that is an orbifold with corners, locally modeled on a generalized Satake compactification of X.
• For any P-Anosov representation with P a maximal proper parabolic subgroup, the quotient ρ(Γ)\X admits a compactification modeled on the maximal Satake compactification of X.
• Generalized Satake compactifications satisfy a functorial property: the closure of a totally geodesic subsymmetric space Y ⊂ X in such a compactification is a generalized Satake compactification of Y.
• If a generalized Satake compactification dominates the maximal Satake compactification, it is a manifold with corners, which supports the orbifold-with-corners structure of the compactified quotient.
• The construction applies to orthogonal and unitary groups, yielding compactifications modeled on minimal Satake compactifications for representations into O(b) or O(b_C).
• The compactifications are obtained by removing a 'bad set' N from a generalized Satake compactification of X, ensuring the quotient inherits a well-defined topology and orbifold structure.