[论文解读] Tangent and cotangent lifts and graded Lie algebras associated with Lie algebroids

Janusz Grabowski, Paweł Urbański|ArXiv.org|Oct 14, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文将Schouten、Froelicher-Nijenhuis和Froelicher-Richardson括号推广至任意李代数丛，并定义了这些结构的切丛与余切丛提升。研究了这些提升下graded Lie括号的行为，从而在典型切丛李代数丛情形下，得到Froelicher-Nijenhuis与对称Schouten括号的新统一推广，同时揭示了经典括号在Schouten框架中的嵌入方式。

ABSTRACT

Generalized Schouten, Froelicher-Nijenhuis and Froelicher-Richardson brackets are defined for an arbitrary Lie algebroid. Tangent and cotangent lifts of Lie algebroids are introduced and discussed and the behaviour of the related graded Lie brackets under these lifts is studied. In the case of the canonical Lie algebroid on the tangent bundle, a new common generalization of the Froelicher-Nijenhuis and the symmetric Schouten brackets, as well as embeddings of the Nijenhuis-Richardson and the Froelicher-Nijenhuis bracket into the Schouten bracket, are obtained.

研究动机与目标

• 将Schouten、Froelicher-Nijenhuis与Froelicher-Richardson括号推广至任意李代数丛。
• 定义并分析李代数丛的切丛与余切丛提升，及其与graded Lie括号的相容性。
• 建立一个统一框架，将经典括号（Nijenhuis-Richardson、Froelicher-Nijenhuis）嵌入Schouten括号结构中。
• 揭示在典型切丛李代数丛中出现的新代数结构，包括Froelicher-Nijenhuis与对称Schouten括号的共同推广。

提出的方法

• 作者利用李代数丛结构及其锚映射，在李代数丛的外代数上定义广义Schouten括号。
• 将李代数丛的切丛与余切丛提升定义为从李代数丛范畴到其自身的函子，保持底层向量丛结构。
• 通过在graded自同态空间上的graded Lie代数结构，将Froelicher-Nijenhuis与Froelicher-Richardson括号扩展至李代数丛。
• 通过外代数与graded自同态上的诱导作用，分析这些括号在切丛与余切丛提升下的行为。
• 在李代数丛的切丛上构造一个新的括号，统一了Froelicher-Nijenhuis与对称Schouten括号。
• 本文证明了Nijenhuis-Richardson与Froelicher-Nijenhuis括号可通过切丛提升嵌入Schouten括号中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Schouten、Froelicher-Nijenhuis与Froelicher-Richardson括号推广至任意李代数丛？
• RQ2 李代数丛的切丛与余切丛提升的代数结构是什么？它们如何与graded Lie括号相互作用？
• RQ3 能否在切丛李代数丛上，通过单一框架统一Froelicher-Nijenhuis与对称Schouten括号？
• RQ4 Nijenhuis-Richardson与Froelicher-Nijenhuis括号在切丛提升下如何与Schouten括号关联？
• RQ5 通过这些广义提升与括号，在典型切丛李代数丛中会涌现出哪些新的几何与代数结构？

主要发现

• 广义Schouten括号被定义在任意李代数丛的外代数上，将经典Schouten括号推广至更广泛的设定。
• 李代数丛的切丛与余切丛提升被构造为函子，保持外代数上的graded Lie代数结构。
• Froelicher-Nijenhuis与Froelicher-Richardson括号被扩展至李代数丛，其在提升下的相容性得到详细分析。
• 在典型李代数丛（即切丛上的李代数丛）情形下，获得Froelicher-Nijenhuis与对称Schouten括号的新共同推广。
• 证明了Nijenhuis-Richardson与Froelicher-Nijenhuis括号可通过切丛提升嵌入Schouten括号中，提供了统一的代数框架。
• 本文确立了李代数丛的graded自同态空间上的graded Lie括号与切丛及余切丛提升均相容，保持了底层代数结构。