[论文解读] Tensor networks and the enumeration of regular subgraphs

Peter Zograf|ArXiv.org|May 10, 2006

Tensor decomposition and applications参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于张量网络的算法，用于枚举任意图中的d-正则子图，包括d-因子和哈密顿环。通过在顶点处放置对称张量，并利用双线性形式进行收缩，该方法计算生成函数，以计数任意指定类型的子图，其关键成果是通过张量网络收缩建立了一个通用的正则子图枚举框架。

ABSTRACT

We propose a universal approach to a range of enumeration problems in graphs. The key point is in contracting suitably chosen symmetric tensors placed at the vertices of a graph along the edges. In particular, this leads to an algorithm that counts the number of d-regular subgraphs of an arbitrary graph including the number of d-factors (previously we considered the case d=2 with a special emphasis on the enumeration of Hamiltonian cycles; cf. math.CO/0403339). We briefly discuss the problem of the computational complexity of this algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种在任意有限图中枚举d-正则子图的通用方法。
• 将先前关于哈密顿环枚举（d=2）的工作推广到任意d ≥ 1的情况。
• 通过张量网络提供一个系统性框架，利用生成函数捕捉子图计数。
• 分析所提算法的计算复杂度，并确定其高效运行的条件。
• 建立对称张量网络与对称多项式之间的联系，以实现子图枚举。

提出的方法

• 该方法在每个度数为d的顶点处使用对称d价张量A_d，并在向量空间V上使用对称双线性形式B，构建张量网络。
• 通过使用B对边对进行张量收缩，将网络简化为域F中的标量值。
• 所得图函数F_A,B(G)是一个生成函数，其系数用于枚举指定类型λ的k-正则子图。
• 该构造依赖于对称幂S^d V和对称多项式p_λ(x_1,…,x_r)来编码子图计数。
• 该算法通过一系列边收缩实现，最大顶点度数最小化，其受图的线图G*的树宽控制。
• 计算复杂度由|V(G)|^O(1) exp(O(tw(G*)))界定，其中tw(G*)是线图的树宽。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个通用的张量网络框架，以枚举任意图中所有d-正则子图？
• RQ2 对称张量和双线性形式的选择如何影响子图枚举的生成函数？
• RQ3 张量网络收缩算法在子图枚举中的计算复杂度是多少？
• RQ4 在何种图结构条件下，该算法变得可有效处理？
• RQ5 能否通过使用对称张量分解技术提高算法效率？

主要发现

• 张量网络收缩F_A,B(G)产生一个生成函数，该函数唯一确定图G中每类类型λ的k-正则子图数量。
• 当r ≥ 1 + max_H l(H)时，函数F_A_k,I_r(G)唯一确定所有系数N_k,λ(G)，即类型λ的k-正则子图的数量。
• 当r=2时，F_A_k,I_2(G)给出图G中k-因子（生成k-正则子图）的总数。
• 当r = n+1且使用单位根时，F_A_k,I_{n+1}(G)/n给出图G中连通k-因子的数量。
• 该算法的复杂度由|V(G)|^O(1) exp(O(tw(G*)))界定，因此在图的线图具有有界树宽时效率较高。
• 该方法推广了先前关于哈密顿环枚举的结果，并为d-正则子图计数提供了一个统一的方法。