[论文解读] The algebra of parallel endomorphisms of a germ of pseudo-Riemannian metric

Charles Boubel|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文对 admits 平行幂零自同态 $N$ 和不包含 $N$ 的半单代数 $\mathfrak{s}$ 的伪黎曼度量芽进行了分类。结果表明，通常情况下，平行自同态代数为 $\mathfrak{e} = \mathfrak{s} \oplus (N)$，其中 $(N)$ 是由 $N$ 生成的理想，并通过类似于复微分几何的变形框架（在 $\mathbb{R}[X]/(X^n)$ 上）对这类度量进行了参数化。

ABSTRACT

On a (pseudo-)Riemannian manifold (M,g), some fields of endomorphisms i.e. sections of End(TM) may be parallel for g. They form an associative algebra A, which is also the commutant of the holonomy group of g. As any associative algebra, A is the sum of its radical and of a semi-simple algebra S. We show in arXiv:1402.6642 that S may be of eight different types, including the generic type S=R.Id, and the Kähler and hyperkähler types where S is respectively isomorphic to the complex field C or to the quaternions H. We show here that for any self adjoint nilpotent element N of the commutant of such an S in End(TM), the set of germs of metrics such that A contains S and {N} is non-empty. We parametrise it. Generically, the holonomy algebra of those metrics is the full commutant of $S\cup\{N\}$ in O(g). Apart from some "degenerate" cases, the algebra A is then $S \oplus (N)$, where (N) is the ideal spanned by N. To prove it, we introduce an analogy with complex Differential Calculus, the ring R[X]/(X^n) replacing the field C. This describes totally the local situation when the radical of A is principal and consists of self adjoint elements. We add a glimpse on the case where this radical is not principal.

研究动机与目标

• 对 admits 平行幂零自同态 $N$ 和不包含 $N$ 的平行自同态半单代数 $\mathfrak{s}$ 的伪黎曼度量芽进行分类。
• 特别地，当平行自同态代数的根为由自伴幂零自同态生成的主理想时，对这类度量的空间进行参数化。
• 确定平行自同态代数 $\mathfrak{e}$ 的结构，表明通常情况下 $\mathfrak{e} = \mathfrak{s} \oplus (N)$，并识别仿射子代数为全交换子 $\mathfrak{o}(g)^{\mathfrak{s} \cup \{N\}}$。
• 通过分析根 $\mathfrak{n}$ 中幂零元素的作用，将平行自同态代数的分类从半单部分 $\mathfrak{s}$ 扩展至更一般情形。

提出的方法

• 利用复微分几何的类比，将 $\mathbb{C}$ 替换为环 $\mathbb{R}[X]/(X^n)$，以建模度量的幂零变形。
• 应用 Wedderburn–Malçev 定理，将平行自同态代数 $\mathfrak{e}$ 分解为半单部分 $\mathfrak{s}$ 和幂零根 $\mathfrak{n}$。
• 通过 $\nu$-变形构造度量：$h = h_0 + \nu h_1$，其中 $h_1$ 是取值于 $\mathbb{R}[\nu] = \mathbb{R}[X]/(X^2)$ 的 $\nu$-拟复度量的实部。
• 将问题约化至商空间 $\mathcal{M}/\mathcal{I}$，其中 $\mathcal{I} = \operatorname{Im}N$，并研究该商空间上诱导的自同态 $U$，要求 $U$ 对于度量 $h_0 = g(\cdot, N\cdot)$ 是平行的。
• 在 $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ 上使用适配坐标，包括 $\ker P_\alpha^{n_\alpha}$ 分解的乘积坐标，以及当 $\deg P_\alpha = 2$ 时的复坐标。
• 应用定理 3.3 和命题 5.2，通过确保 $U$ 对 $h_0$ 平行且 $g$ 满足涉及 $G^0$ 和 $G^1$ 的特定矩阵约束，来刻画 $N$ 和 $N'$ 均为平行的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些伪黎曼度量芽 admits 平行幂零自同态 $N$ 和不包含 $N$ 的平行自同态半单代数 $\mathfrak{s}$？
• RQ2 在何种条件下，平行自同态代数 $\mathfrak{e}$ 等于 $\mathfrak{s} \oplus (N)$，其中 $(N)$ 是由 $N$ 生成的理想？
• RQ3 这类度量如何被参数化？商空间 $\mathcal{M}/\mathcal{I}$（其中 $\mathcal{I} = \operatorname{Im}N$）在此分类中起什么作用？
• RQ4 当要求 $N$ 和另一自同态 $N'$ 均为平行时，对度量 $g$ 会产生何种约束，特别是当 $N'$ 与 $N$ 可交换时？
• RQ5 当 $\mathfrak{e}$ 的根 $\mathfrak{n}$ 的结构非主理想或非交换时，其结构如何影响此类度量的分类？

主要发现

• 对于给定的半单代数 $\mathfrak{s}$ 和不属 $\mathfrak{s}$ 的自伴幂零自同态 $N$，admits 该结构的伪黎曼度量芽的集合非空，且可显式参数化。
• 通常情况下，平行自同态代数 $\mathfrak{e}$ 为 $\mathfrak{s} \oplus (N)$，其中 $\mathfrak{s}$ 为半单代数，$(N)$ 为由 $N$ 生成的理想，且仿射子代数为全交换子 $\mathfrak{o}(g)^{\mathfrak{s} \cup \{N\}}$。
• 度量 $g$ 使 $N$ 和 $N'$ 均为平行当且仅当 $g$ 是 $\nu$-拟复度量 $h = h_0 + \nu h_1$ 的实部，且 $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ 上诱导的自同态 $U$ 对 $h_0$ 是平行的。
• 在适配坐标 $((x_i, y_i))$ 下，度量 $g$ 的矩阵形式为 $\begin{pmatrix} 0 & G^0 \\ G^0 & G^1 \end{pmatrix}$，其中 $G^0$ 是使 $U$ 平行的 $\mathcal{M}/\mathcal{I}$ 上的度量，而 $G^1$ 依赖于 $x_i$ 及其对 $x_i$ 的导数。
• 在商空间的每个分量 $\overline{\mathcal{M}}_k$ 上，$h_0$ 本身是对应于 $\mu$-拟复度量的实度量；若 $\deg P_k = 2$，则 $h_0$ 对于诱导的复结构 $\underline{J}_k$ 也是复黎曼度量。
• 对于多个可交换幂零自同态的一般情形，会导出一系列商空间 $E_\alpha$ 及其上诱导的自同态 $U_\alpha$，且横截面上的度量系数必须是 $N_\alpha$-拟复函数的实部。