[论文解读] The Alon-Tarsi number of a planar graph minus a matching

Jarosław Grytczuk, Xuding Zhu|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 15被引用 9

一句话总结

该论文证明了每个平面图 $G$ 都包含一个匹配 $M$，使得 $G - M$ 的 Alon-Tarsi 数至多为 4，这意味着 $G - M$ 是 4-可画图，且 $G$ 是 1-缺陷 4-可画图。该结果强化了关于缺陷性列表染色的先前工作，并通过多项式方法和 Alon-Tarsi 框架中的单项式非零性论证，提供了一种构造性方法。

ABSTRACT

This paper proves that every planar graph $G$ contains a matching $M$ such that the Alon-Tarsi number of $G-M$ is at most $4$. As a consequence, $G-M$ is $4$-paintable, and hence $G$ itself is $1$-defective $4$-paintable. This improves a result of Cushing and Kierstead [Planar Graphs are 1-relaxed, 4-choosable, {\em European Journal of Combinatorics} 31(2010),1385-1397], who proved that every planar graph is $1$-defective $4$-choosable.

研究动机与目标

• 确定每个平面图 $G$ 是否存在一个匹配 $M$，使得 $G - M$ 是 4-可选的，以解决缺陷性列表染色的一个更强变体。
• 研究在移除一个匹配后，平面图的 Alon-Tarsi 数，以衡量此类图与 4-可选性的接近程度。
• 将关于缺陷性列表染色和在线列表染色（绘画游戏）的结果推广到缺陷边通过匹配预先指定的设定中。
• 证明 $G - M$ 的 Alon-Tarsi 数至多为 4，这意味着 $G - M$ 是 4-可画图，且 $G$ 是 1-缺陷 4-可画图。
• 将这些结果推广到有符号平面图，证明对于某个匹配 $M$，有 $AT(G - M, \sigma) \leq 4$。

提出的方法

• 使用 Alon-Tarsi 多项式 $P_G(\mathbf{x})$ 分析单项式非零条件，重点关注满足 $\eta(v) < f(v)$ 的度分配 $\eta$，其中 $f$ 为顶点函数。
• 基于边移除和匹配增强，对图多项式进行递归分解，特别分析 $P_{G-e-M}(\mathbf{x})$ 及其系数。
• 采用 Alon-Tarsi 多项式的有符号图推广形式：$P_{G,\sigma}(\mathbf{x}) = \prod_{u\sim v, u<v} (x_v - \sigma(uv)x_u)$，将结果扩展到有符号平面图。
• 通过顶点度数和单项式系数的案例分析，利用归纳法和系数传递，证明在特定条件下 $c_{G-e-M, \eta} \neq 0$。
• 应用 $f$-Alon-Tarsi 条件：若存在一个非零单项式 $\mathbf{x}^\eta$ 满足对所有 $v$ 有 $\eta(v) < f(v)$，则图是 $f$-AT，这意味着 $f$-可画性。
• 修改证明以允许顶点特定的列表大小：$f(v) = 5$ 对于 $p$ 个顶点，其余顶点 $f(v) = 4$，以确保 $f$-可画性和 $f$-可选性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个平面图 $G$ 是否存在一个匹配 $M$，使得 $G - M$ 的 Alon-Tarsi 数至多为 4？
• RQ2 平面图的 1-缺陷 4-可选性是否可以加强为通过匹配移除预指定缺陷边？
• RQ3 在移除一个匹配后，平面图的 Alon-Tarsi 数是否被限制为 4，且这是否意味着 $G - M$ 的 4-可画性？
• RQ4 平面图的结果是否可以推广到有符号平面图，确保对某个匹配 $M$ 有 $AT(G - M, \sigma) \leq 4$？
• RQ5 是否存在一个顶点子集 $X$ 满足 $|X| < |V(G)|/2$，使得对 $X$ 中的顶点分配 5 种颜色，其余顶点分配 4 种颜色，可确保 $L$-可染色性？

主要发现

• 每个平面图 $G$ 都包含一个匹配 $M$，使得 $G - M$ 的 Alon-Tarsi 数至多为 4，这意味着 $G - M$ 是 4-可画图。
• 作为推论，$G$ 是 1-缺陷 4-可画图，优于 Cushing 和 Kierstead 关于 1-缺陷 4-可选性的结果。
• $G$ 是一个函数 $f$ 的 $f$-Alon-Tarsi 图，其中 $f(v) = 5$ 在 $p$ 个顶点上，其余顶点 $f(v) = 4$，确保了 $f$-可画性和 $f$-可选性。
• 存在一个顶点子集 $X$ 满足 $|X| < |V(G)|/2$，使得对 $X$ 中的顶点分配 5 种颜色，其余顶点分配 4 种颜色，可确保 $G$ 的 $L$-可染色性，从而强化了 5-可选性。
• 结果可推广到有符号平面图：对某个匹配 $M$，有 $AT(G - M, \sigma) \leq 4$，因此 $(G - M, \sigma)$ 是 4-可选的，且 $G$ 是 1-缺陷 4-可选的。
• 通过图多项式中单项式非零性的证明技术，提供了一种构造性方法，用于识别此类匹配和染色分配。