[论文解读] Generalized Planar Tur\'an Numbers

Ervin Győri, Addisu Paulos+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文研究广义平面图塔兰数，聚焦于在排除某些偶圈的平面图中，最大化固定树或圈的副本数量。研究确立了此类极值计数的渐近阶，证明对于任意固定树 $T$，在 $C_{2\ell}$-自由平面图中，其副本数量为 $\Theta(n)$，并给出了 $C_4$-自由平面图中 5-圈的精确结果。

ABSTRACT

In a generalized Tur\\'an problem, we are given graphs $H$ and $F$ and seek to maximize the number of copies of $H$ in an $F$-free graph of order $n$. We consider generalized Tur\\'an problems where the host graph is planar. In particular we obtain the order of magnitude of the maximum number of copies of a fixed tree in a planar graph containing no even cycle of length at most $2\\ell$, for all $\\ell$, $\\ell \\geq 1$. We obtain the order of magnitude of the maximum number of cycles of a given length in a planar $C_4$-free graph. An exact result is given for the maximum number of $5$-cycles in a $C_4$-free planar graph. Multiple conjectures are also introduced.

研究动机与目标

• 确定在排除长度不超过 $2\ell$ 的偶圈的平面图中，固定树的副本数的最大值，其中 $\ell \geq 1$。
• 确定在 $C_4$-自由平面图中，$t$-圈数量的阶，其中 $t$ 固定。
• 对 $C_4$-自由平面图中 5-圈的最大数量提供精确刻画。
• 验证埃普斯坦猜想在平面图极值计数中的受限版本，表明对于树，极值函数为 $\Theta(n^k)$（$k$ 为某值）。
• 提出并探讨多种图族的广义平面图塔兰数的多个猜想。

提出的方法

• 将广义平面图塔兰函数 $\operatorname{ex}_{\mathcal{P}}(n,H,F)$ 定义为：在 $n$ 个顶点的平面图中，避免子图 $F$ 时，$H$ 的副本数的最大值。
• 通过将树分解为由度数至少为 3 的顶点及度数为 2 的顶点所诱导的路径森林 $F$，将嵌入问题简化为有界度子图。
• 应用约化论证，表明树 $T$ 嵌入 $C_{2\ell}$-自由平面图的方式数仅取决于核心子图 $F$ 的嵌入方式，且每个顶点的选择数有界。
• 利用在 $C_{2\ell}$-自由平面图中，距离高阶顶点距离不超过 $\ell$ 的顶点其嵌入选择有限这一事实，确保总副本数为 $O(n)$。
• 运用极值图论工具，包括 $C_4$-自由平面图中的度数和界（通过参考 Hendrey 的工作指出），以控制圈的数量。
• 应用定理 7.1，限制 $A_{2}''$ 中顶点的有效嵌入数，确保每种构型仅有常数个选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无长度不超过 $2\ell$ 的偶圈的平面图中，固定树的副本数的最大值的渐近阶为何？
• RQ2 在 $C_4$-自由平面图中，$t$-圈的最大数量是多少（$t$ 固定）？
• RQ3 在 $C_4$-自由平面图中，5-圈的最大数量是多少？
• RQ4 广义平面图塔兰函数 $\operatorname{ex}_{\mathcal{P}}(n,H,\emptyset)$ 是否对每个固定的图 $H$ 都以 $n$ 的多项式形式增长？
• RQ5 在 $C_{2\ell}$-自由平面图中，树嵌入的极值函数是否可被 $O(n)$ 有界，若可，其结构条件为何？

主要发现

• 对于任意固定树 $T$，在无长度不超过 $2\ell$ 的偶圈的平面图中，$T$ 的副本数为 $\Theta(n)$，确立了其阶的大小。
• 在 $C_4$-自由平面图中，对任意固定 $t \geq 3$，$t$-圈的最大数量为 $\Theta(n)$，常数依赖于 $t$。
• 在 $C_4$-自由平面图中，5-圈的最大数量恰好为 $n - 3$，提供了精确的极值结果。
• 作者验证了埃普斯坦猜想在树情形下的受限版本，表明 $\operatorname{ex}_{\mathcal{P}}(n,T,\emptyset) = \Theta(n^k)$（$k \geq 1$），且对所有树均有 $k=1$。
• 在 $C_{2\ell}$-自由平面图中，树 $T$ 的有效嵌入数被有界常数倍的 $n$ 所限制，原因在于距离高阶顶点距离不超过 $\ell$ 的顶点选择有限。
• 由度数至少为 3 的顶点及不属于 $A_2''$ 的度数为 2 的顶点构成的核心子图 $F$ 抓住了极值计数的本质结构，因为 $\beta_\ell(F) = \beta_\ell(T)$。