[论文解读] The Alon-Tarsi number of subgraphs of a planar graph

Ringi Kim, Seog‐Jin Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文证明了每个平面图都包含一个森林 F，使得 G−E(F) 的 Alon-Tenser 数至多为 3，从而推出 3-可选择性与 3-可涂色性。论文构造了反例，表明移除最大度 ≤3 的子图或星形森林并不总是保持 3-可选择性，但通过在具有三角形面的平面图上使用归纳定向技术，证明了普遍存在的存在性结果。

ABSTRACT

This paper constructs a planar graph $G_1$ such that for any subgraph $H$ of $G_1$ with maximum degree $Δ(H) \le 3$, $G_1-E(H)$ is not $3$-choosable, and a planar graph $G_2$ such that for any star forest $F$ in $G_2$, $G_2-E(F)$ contains a copy of $K_4$ and hence $G_2-E(F)$ is not $3$-colourable. On the other hand, we prove that every planar graph $G$ contains a forest $F$ such that the Alon-Tarsi number of $G - E(F)$ is at most $3$, and hence $G - E(F)$ is 3-paintable and 3-choosable.

研究动机与目标

• 研究从平面图中移除某些子图（例如森林、最大度为 3 的子图）是否保持 3-可选择性。
• 确定是否存在一个通用常数 d，使得每个平面图都存在一个最大度 ≤d 的森林 F，使得 G−E(F) 的 Alon-Tarsi 数 ≤3。
• 解决子图移除在平面图的列表染色性质上的结构性限制。
• 通过 Alon-Tarsi 数分析证明：对于任意平面图 G，存在一个森林 F，使得 G−E(F) 是 3-可涂色且 3-可选择的。

提出的方法

• 对所有内部面均为三角形的平面图的边数进行归纳。
• 通过共享边界圈的子图 G₁ 和 G₂′ 的递归分解，移除边以保持结构特性。
• 通过组合子图中的定向 D₁ 和 D₂，构造 G−E(F) 的一个‘良好定向’D，确保 |EE(D)| ≠ |OE(D)|。
• 通过图多项式系数分析应用 Alon-Tarsi 定理：AT(G) ≤ 3 当且仅当每个顶点的某个非零系数且次数小于 3 的单项式存在。
• 将‘良好定向’定义为偶数与奇数欧拉子图数量之差非零的定向，从而确保多项式系数非零。
• 使用边收缩和顶点删除（例如 G′ = G−z）来降低复杂度，同时保持所需的定向和森林包含性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个平面图 G 是否都包含一个森林 F，使得 G−E(F) 的 Alon-Tarsi 数至多为 3？
• RQ2 从平面图 G 中移除一个最大度 Δ(H) ≤ 3 的子图 H 是否能保持 3-可选择性？
• RQ3 是否存在一个常数 d，使得每个平面图都存在一个最大度 ≤d 的森林 F，使得 G−E(F) 的 Alon-Tarsi 数 ≤3？
• RQ4 从平面图 G 中移除一个星形森林 F 是否可能使结果图不是 3-可染色的？
• RQ5 子图 H 的哪些结构条件能确保 G−E(H) 保持 3-可选择性？

主要发现

• 对于每个平面图 G，都存在一个森林 F，使得 G−E(F) 的 Alon-Tarsi 数至多为 3，从而推出 3-可选择性与 3-可涂色性。
• 存在一个平面图 G₁，使得对于任意满足 Δ(H) ≤ 3 的子图 H，G₁−E(H) 都不是 3-可选择的。
• 存在一个平面图 G₂，使得对于任意星形森林 F，G₂−E(F) 都包含一个 K₄，因此不是 3-可染色的。
• 当 F 是通过归纳构造具有良好定向（满足 |EE(D)|−|OE(D)| ≠ 0）的精心选择的森林时，G−E(F) 的 Alon-Tarsi 数被限制在 3 以内。
• 该证明依赖于将平面图分解为具有三角形面的子图，并通过递归的边与顶点约化，构造保持 Alon-Tarsi 条件的定向。
• 无论 G 的初始结构如何，此类森林 F 的存在性均被保证，证明了平面图具有普遍的结构性性质。