[论文解读] The canonical heights for Jordan blocks of small eigenvalues, preperiodic points, and the arithmetic degrees

Kaoru Sano|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文在数域上光滑射影概形上自同态的背景下，为模长较小的特征值所关联的若尔当代数块引入了一种新的典范高度函数。在商空间上除特征值模长为1外的谱条件成立时，证明了算术度 α_f(P) 等于1当且仅当点P是预周期点，推广了关于极化自同态的先前结果。

ABSTRACT

We introduce a new canonical height function for Jordan blocks of small eigenvalues for endomorphisms on smooth projective varieties over a number field. We prove that under an assumption on the eigenvalues of the endomorphism on the group of divisors modulo numerical equivalence, the arithmetic degree at a rational point is equal to one if and only if it is preperiodic under the endomorphism.

研究动机与目标

• 将典范高度理论扩展至光滑射影概形上自同态的、模长不等于0,1的特征值所对应的若尔当代数块。
• 基于除数类群上的谱数据，建立以算术度表示的预周期性判别准则。
• 将 Kawaguchi-Silverman 关于极化自同态的结果推广至谱行为受控的非极化情形。
• 在轨道的逆极限空间上定义并刻画典范高度，从而实现对非自同构动力系统分析。

提出的方法

• 在逆极限空间 lim_f X(Q̄) 上引入典范高度函数 ŝh_{D_j}，通过归一化及涉及特征值λ的函数方程定义。
• 利用函数方程 ŝh_{D_j} ∘ f = ŝh_{D_{j-1}} + λ ŝh_{D_j}，为模长|λ| ≠ 0,1的特征值的若尔当代数块定义高度。
• 应用逆极限空间 lim_f X(Q̄) 来建模前向与后向轨道，将轨道结构推广至非自同构情形。
• 分析 f^* 在商空间 V̄_H ⊂ N^1(X)_Q 上的谱半径 μ_H(f)，排除模长为1的特征值。
• 利用 Weil 高度函数与数值等价性，定义算术度 α_f(P)，使其独立于丰沛除数H的选择。
• 依赖算子范数估计与谱半径界，将高度的增长率与 f^* 的特征值关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 f^*|V̄_H 上满足何种谱条件时，算术度 α_f(P) 等于1当且仅当P是预周期点？
• RQ2 在非自同构动力系统中，如何为模长|λ| ≠ 0,1的特征值的若尔当代数块定义典范高度？
• RQ3 f^* 在 V̄_H 上的谱半径与迭代下 Weil 高度的增长率之间有何关系？
• RQ4 能否利用 lim_f X(Q̄) 上的典范高度构造来通过算术度刻画预周期点？
• RQ5 f^* 在 V_H 与 V̄_H 上的若尔当代数块结构之间有何关系，特别是对满足 |λ| > √δ_f 的特征值？

主要发现

• 若 f^* 在 V̄_H 上无模长为1的特征值，则算术度 α_f(P) 等于1当且仅当P是预周期点。
• 典范高度函数 ŝh_{D_j} 存在且由归一化条件与涉及特征值λ的函数方程唯一确定。
• f^* 在 V̄_H 上的谱半径等于满足 |λ| ≥ 1 的特征值λ的 |λ| 的最大值，记为 μ_H(f)，该值控制算术度。
• 对满足 |λ| > √δ_f 的特征值，f^* 在 V_H 上的若尔当代数块结构通过商映射同构于其在 V̄_H 上的结构。
• 算术度 α_f(P) 严格小于 μ_H(f) 当且仅当P是预周期点，从而以谱方式刻画了预周期性。
• 该构造将 Kawaguchi-Silverman 关于极化自同态的结果推广至谱行为受控的更广一类自同态。