[论文解读] The Categorified Heisenberg Algebra I: A Combinatorial Representation

Jeffrey C. Morton, Jamie Vicary|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文通过群丛的范畴化方法，以范畴化海森堡代数的组合模型为基础，利用范畴化海森堡代数的组合实现，通过有限集与双射实现具体化。该研究证明了海森堡代数与U(sln)的代数关系源自群丛范畴中的组合同构，线性化后通过生成函数恢复标准的 Fock 空间表示。

ABSTRACT

We give an introductory account of Khovanov's categorification of the Heisenberg algebra, and construct a combinatorial model for it in a 2-category of spans of groupoids. We also treat a categorification of $U(sl_n)$ in a similar way. These give rise to standard representations on vector spaces through a linearization process.

研究动机与目标

• . 本文旨在通过群丛化方法，为 Khovanov 的范畴化海森堡代数提供一种组合解释。
• 它试图通过有限集的组合学解释范畴化海森堡代数的代数结构。
• 该工作通过多色有限集与保持颜色的双射，构建了范畴化 U(sln) 代数的模型。
• 它展示了标准线性表示如何通过从群丛结构出发的自然线性化过程，恢复海森堡代数与 U(sln) 的表示。
• 该目标还包括建立抽象范畴化量子群与具体组合结构（如多类物质类型）之间的联系。

提出的方法

• . 范畴化海森堡代数在群丛的双射范畴的 2-范畴中建模，使用生成对象 Q+ 和 Q− 分别表示向上与向下的线段。
• 态射表示为群丛的双射，关系通过图示的拓扑恒等式施加。
• 关键同构 Q−⊗Q+ ≃ (Q+⊗Q−)⊕I 范畴化了海森堡对易关系 aa†−a†a=1。
• 对于 U(sln)，作者在 n 色有限集与保持颜色的双射构成的群丛 Sn 上定义了湮灭与创造双射 Ai 和 A†i。
• 算子 Ei, Fi, 和 Ni 作为这些双射的复合构造，满足 U(sln) 的范畴化关系。
• 通过去群丛化函子的线性化，恢复了标准的 Fock 空间表示，形式为 C[[z1,…,zn]] 中的幂级数。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 如何通过组合结构（如群丛的双射）具体实现 Khovanov 的范畴化海森堡代数？
• RQ2 . 范畴化海森堡代数的对易关系背后的组合同构是什么？
• RQ3 . U(sln) 的生成元如何从多色有限集上的群丛双射中产生？
• RQ4 . 去群丛化函子在从群丛模型恢复标准线性表示中起什么作用？
• RQ5 . 多类物质类型如何推广组合种类理论，以对 U(sln) 的范畴化 Fock 空间中的态进行组合建模？

主要发现

• . 范畴化海森堡代数被实现为有限集上群丛双射的 2-范畴，关系源自组合同构。
• . 同构 Q−⊗Q+ ≃ (Q+⊗Q−)⊕I 在群丛模型中成立，范畴化了对易关系 aa†−a†a=1。
• . 对于 U(sln)，算子 Ei, Fi, 和 Ni 作为 n 色有限集上双射的复合构造，满足范畴化关系式 (126)–(128)。
• . 在一个集合中区分每种颜色 i 和 j 的零个或一个元素的方式数，对应于同构 (EiFj)⊕δijNi ≃(FjEi)⊕δijNi+1。
• . 双射的去群丛化过程产生标准的多项式表示，其在 C[[z1,…,zn]] 上的系数与组合计数一致。
• . 多类物质类型（定义为 Sn 上的群丛）为 Fock 空间态提供了组合模型，去群丛化过程产生多变量生成函数。