[论文解读] The discriminant and oscillation lengths for contact and Legendrian isotopies

Vincent Colin, Sheila Sandon|arXiv (Cornell University)|May 9, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 19

一句话总结

本文引入了判别度量，这是一种定义在任意接触流形的接触同胚群的万有覆叠上的整数值双不变度量，通过接触积中的嵌入图块的最小数量来定义。证明了在 $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ 和 $\mathbb{R}P^{2n+1}$ 上的标准接触结构下该度量是无界的，而在 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 和 $S^{2n+1}$ 上是有界的，并将该度量推广以定义勒让德同胚的判别长度和振荡长度，展示了在若干关键例子（包括 $T^*B\times S^1$ 和某些三维流形的圆丛）中其无界性。

ABSTRACT

We define an integer-valued non-degenerate bi-invariant metric (the discriminant metric) on the universal cover of the identity component of the contactomorphism group of any contact manifold. This metric has a very simple geometric definition, based on the notion of discriminant points of contactomorphisms. Using generating functions we prove that the discriminant metric is unbounded for the standard contact structures on R^{2n} x S^1 and RP^{2n+1}. On the other hand we also show by elementary arguments that the discriminant metric is bounded for the standard contact structures on R^{2n+1} and S^{2n+1}. As an application of these results we get that the contact fragmentation norm is unbounded for R^{2n} x S^1 and RP^{2n+1}. By elaborating on the construction of the discriminant metric we then define a second integer-valued bi-invariant metric, that we call the discriminant oscillation metric. This second metric is non-degenerate if and only if the contact manifold is orderable in the sense of Eliashberg and Polterovich and, in this case, it is compatible with the partial order. Finally we define the discriminant and oscillation lengths of a Legendrian isotopy, and prove that they are unbounded for T^{\\ast}B x S^1 for any closed manifold B, for RP^{2n+1} and for some 3-dimensional circle bundles.

研究动机与目标

• 通过判别点的概念，定义接触同胚群万有覆叠上的新整数值双不变度量。
• 利用生成函数，证明 $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ 和 $\mathbb{R}P^{2n+1}$ 上标准接触结构下判别度量的无界性。
• 通过基本几何论证，证明 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 和 $S^{2n+1}$ 上判别度量的有界性。
• 将判别度量推广以定义勒让德同胚的判别长度与振荡长度，并在特定情形下证明其无界性。
• 将新度量与接触序化性及接触同胚群万有覆叠上的偏序关系联系起来。

提出的方法

• 将判别范数定义为：将一个接触同胚分解为最少数量的片段，使得这些片段的图的并集在 $M \times M \times \mathbb{R}$ 中是嵌入的。
• 利用判别点（即满足 $g(q) = 0$ 的固定点 $q$，其中 $\phi^*\alpha = e^g\alpha$）的概念，检测图并集的非嵌入性。
• 应用生成函数研究非线性 Maslov 指标，并控制勒让德同胚下临界点的变化。
• 利用非线性 Maslov 指标在接触同胚共轭下的不变性，且其变化量有界于 $n$。
• 通过将勒让德同胚提升到无限覆叠，将问题约化为已知情形，如 $T^*B \times S^1$ 和 $T^2 \times (-\pi/2, \pi/2)$。
• 构造一个与接触同胚群偏序相容的振荡伪度量，当且仅当接触流形是序化的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意接触流形，其接触同胚群万有覆叠上是否存在自然的、整数值的、双不变的度量？
• RQ2 在哪些标准接触流形上，判别度量是无界的？
• RQ3 判别度量能否用于推导接触分裂范数的无界性结果？
• RQ4 在 $T^*B \times S^1$ 和 $\mathbb{R}P^{2n+1}$ 中，勒让德同胚的判别长度与振荡长度的行为如何？
• RQ5 判别度量与 Eliashberg-Polterovich 接触序化性之间有何关系？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ 上的标准接触结构下，判别度量是无界的，该结论通过生成函数与非线性 Maslov 指标得到证明。
• 在 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 和 $S^{2n+1}$ 上，判别度量是有界的，该结论通过接触同胚结构的初等几何论证得以确立。
• 接触分裂范数在 $\mathbb{R}^{2n}\times S^1$ 和 $\mathbb{R}P^{2n+1}$ 上是无界的，这是判别度量无界性的直接推论。
• 在 $T^*B \times S^1$ 中，勒让德同胚的判别长度至少为 $k$，其中 $k$ 是 Reeb 流第 $k$ 次迭代，表明该类中存在无界性。
• 勒让德同胚的振荡长度在 $T^*B \times S^1$、$\mathbb{R}P^{2n+1}$ 以及某些三维圆丛中也是无界的，该结论通过指标变化与覆叠空间提升得到证明。
• 振荡伪度量是非退化的，当且仅当接触流形是序化的；此时，它与接触同胚群万有覆叠上的偏序关系相容。