[论文解读] The Dynamical Manin-Mumford Conjecture and the Dynamical Bogomolov Conjecture for split rational maps

Dragos Ghioca, Khoa D. Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文证明了在 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上分裂有理映射 $\Phi = (f,g)$ 的动力系统曼因-穆福德猜想与动力系统波戈莫洛夫猜想，表明在弱非例外条件下，一个不可约曲线 $C$ 包含无穷多个预周期点当且仅当它在 $\Phi$ 的某次迭代下是预周期的。证明结合了小高度点的等分布性、朱利亚集的对称性以及袁和张的特殊化定理。

ABSTRACT

We prove the Dynamical Bogomolov Conjecture for endomorphisms of P^1 imes P^1 defined over a number field. We use the equidistribution theorem for points of small height with respect to an algebraic dynamical system, combined with a theorem of Levin regarding symmetries of the Julia set. Using a specialization theorem of Yuan and Zhang, we prove the Dynamical Manin-Mumford Conjecture for endomorhisms of P^1 imes P^1 defined over the complex numbers.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{C}$ 上建立对 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上自同态 $\Phi = (f,g)$ 的动力系统曼因-穆福德猜想，其中 $f$ 和 $g$ 为有理函数。
• 在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上证明此类映射的动力系统波戈莫洛夫猜想，将典范高度为零的点与预周期集联系起来。
• 通过排除例外映射（如单项式、切比雪夫多项式及拉蒂斯映射）将结果推广至非极化映射之外。
• 通过动力系统与算术条件，刻画 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中曲线包含无穷多个 $\Phi$-预周期点的情形。

提出的方法

• 利用关于动力系统 $\Phi$ 的小典范高度点的等分布定理。
• 应用莱文关于有理函数朱利亚集对称性的定理，以限制可能的动力行为。
• 采用袁和张的特殊化定理，将 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的结果下移至 $\mathbb{C}$。
• 通过梅德韦杰夫-斯坎隆理论分析可交换多项式的结构及其迭代，以分类不变曲线。
• 在多项式动力系统中使用线性共轭与系数比较，推导出关于次数与常数的条件。
• 将问题约化为研究 $F^{\ell_1} \times G^{\ell_2}$ 是否具有非平凡周期曲线，从而得出 $d_1 = d_2$ 与 $c_1 = \zeta c_2$ 的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中的不可约曲线 $C \subset \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 包含无穷多个 $\Phi$-预周期点，其中 $\Phi = (f,g)$？
• RQ2 当 $C$ 不是预周期时，其上典范高度和趋于零的点列的集合何时不是齐次稠密的？
• RQ3 哪些动力系统与算术条件可确保曲线 $C$ 在 $\Phi = (f,g)$ 的某次迭代下是预周期的？
• RQ4 如何通过 $f$ 和 $g$ 的朱利亚集对称性来约束 $C$ 上预周期点的存在性？
• RQ5 当两个多项式 $F(x) = x^{d_1} + c_1$ 与 $G(x) = x^{d_2} + c_2$ 满足什么条件时，$F^{\ell_1} \times G^{\ell_2}$ 具有非平凡周期曲线？

主要发现

• 在 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中，不可约曲线 $C$ 包含无穷多个 $\Phi$-预周期点，当且仅当存在 $\ell_1, \ell_2$ 使得 $C$ 在 $\Phi^{\ell_1} \times \Phi^{\ell_2}$ 下是预周期的，且满足 $d_1^{\ell_1} = d_2^{\ell_2}$。
• 当 $f$ 和 $g$ 定义在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上时，$C$ 上存在一个典范高度和趋于零的点列，当且仅当 $C$ 在 $\Phi$ 的某次迭代下是预周期的。
• 若多项式 $F(x) = x^{d_1} + c_1$ 与 $G(x) = x^{d_2} + c_2$ 不与单项式或切比雪夫多项式线性共轭，则 $F^{\ell_1} \times G^{\ell_2}$ 具有非平凡周期曲线，当且仅当 $d_1 = d_2$ 且 $c_1 = \zeta c_2$，其中 $\zeta$ 是 $(d_1 - 1)$ 次单位根。
• 莱文的朱利亚集对称性定理表明，若曲线 $C$ 包含无穷多个预周期点，则其动力行为受 $f$ 和 $g$ 的朱利亚集对称性的约束。
• 袁和张的特殊化定理使得可将 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的结果提升至 $\mathbb{C}$，从而在 $\mathbb{C}$ 上证明了动力系统曼因-穆福德猜想。
• 本文在不假设极化性的情况下，建立了分裂映射 $\Phi = (f,g)$ 在 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上的动力系统波戈莫洛夫猜想，只要 $f$ 和 $g$ 不是例外的。