[论文解读] The Existence of Coupling in the Category of Transitive Lie Algebroid

Xiaoyu Li, A. S. Mishchenko|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2013

Intracerebral and Subarachnoid Hemorrhage Research被引用 4

一句话总结

本文建立了在横截李代数胚中，切丛 $TM$ 与与之关联的李代数丛 $L$ 之间耦合存在的必要且充分条件。通过在 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 上引入一种精细拓扑，使得外自同构群离散化，作者证明了此类耦合存在当且仅当 $L$ 在赋予该新拓扑的结构群下允许局部平凡化，从而解决了横截李代数胚分类理论中的一个基础性问题。

ABSTRACT

The coupling of the tangent bundle $TM$ with the Lie algebra bundle $L$ (K.Mackenzie,2005, Definition 7.2.2) plays the crucial role in the classification of the transitive Lie algebroids for Lie algebra bundle $L$ with fixed finite dimensional Lie algebra $ g$ as a fiber of $L$. Here we give a necessary and sufficient condition for existence such a coupling. Namely we define a new topology on the group $\Aut( g)$ of all automorphisms of Lie algebra $ g$ and show that tangent bundle $TM$ can be coupled with the Lie algebra bundle $L$ if and only if the Lie algebra bundle L admits a local trivial structure with structural group endowed with such new topology. The second version of the article is different from the first because of the improvement of the text by invaluable efforts of professor J.Stasheff, to whom we submit our sincere gratitude.

研究动机与目标

• 解决横截李代数胚中切丛 $TM$ 与李代数丛 $L$ 之间耦合存在的开放问题。
• 定义 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 上的新拓扑，使得商 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ 成为离散群。
• 基于该新拓扑下 $L$ 的局部平凡性，建立耦合存在的判别准则。
• 通过明确且必要地表述耦合条件，推广 Mackenzie 的障碍理论。

提出的方法

• 在自同构群 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 上引入一种更精细的拓扑 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$，使得商 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ 成为离散群。
• 定义一个光滑映射 $\varphi: M \to \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$，并分析其与商映射 $q: \mathrm{Aut}(\mathfrak{g}) \to \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ 的复合。
• 证明 $q \circ \varphi$ 局部常值当且仅当对所有 $x \in M$ 和 $X \in T_xM$，有 $\frac{\partial \varphi}{\partial X} \varphi(x)^{-1} \in \mathrm{ad}\,\mathfrak{g}$。
• 利用局部平凡化与单位分解构造 $L$ 上的联络 $\nabla$，并通过自然映射 $\natural$ 定义丛态射 $\Xi: TM \to \mathrm{Out}\,\mathcal{D}_{\mathrm{Der}}(L)$。
• 证明在每个局部平凡化区域上，$\Xi$ 的曲率 $R^\Xi$ 恒为零，从而确认 $\Xi$ 是一个合法的耦合。
• 证明在重叠区域 $U_\alpha \cap U_\beta$ 上，有 $\Xi^\alpha = \Xi^\beta$，从而确保耦合的全局良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在横截李代数胚中，切丛 $TM$ 与李代数丛 $L$ 之间的耦合在何种条件下存在？
• RQ2 如何对自同构群 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 赋予拓扑，使其外自同构群成为离散群？
• RQ3 耦合存在的精确关系为何？该关系与在精细结构群下 $L$ 的局部平凡性有何关联？
• RQ4 能否通过明确且必要地表述耦合条件，完成对横截李代数胚的障碍理论？

主要发现

• 当且仅当李代数丛 $L$ 在赋予新拓扑的结构群下允许局部平凡化（该拓扑使 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ 离散）时，$TM$ 与 $L$ 之间存在耦合。
• 耦合存在的条件等价于复合映射 $q \circ \varphi$ 的局部常值性，其中 $\varphi: M \to \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 且 $q$ 为到 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ 的商映射。
• 诱导丛态射 $\Xi: TM \to \mathrm{Out}\,\mathcal{D}_{\mathrm{Der}}(L)$ 的曲率在每个局部平凡化区域上恒为零，从而确认其为有效耦合。
• 由于条件 $\nabla_X^\alpha - \nabla_X^\beta \in \mathrm{ad}\,L$ 成立，局部态射 $\Xi^\alpha$ 在重叠区域上一致，因此耦合 $\Xi$ 是全局良定义的。
• 该构造为具有指定伴随丛 $L$ 的横截李代数胚的存在性提供了完整判别准则，解决了分类理论中的一个基础性问题。