[论文解读] Automorphisms of Strong Homotopy Lie Algebras of Local Observables

Patricia Ritter, Christian Saemann|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文将局部可观测量的强同伦李代数（shlalos）构造从2-plectic推广到任意n-plectic流形，表明这些shlalos可弱嵌入到扭曲Vinogradov代数胚的截面的李n-代数中。通过引入具有高阶括号的增强n-plectic结构，解决了弱自同构带来的函子性问题，实现了范畴化的泊松结构，并自然地将n-plectic流形解释为辛李n-代数胚。

ABSTRACT

There is a well-established procedure of assigning a strong homotopy Lie algebra of local observables to a multisymplectic manifold which can be regarded as part of a categorified Poisson structure. For a 2-plectic manifold, the resulting Lie 2-algebra is isomorphic to a sub Lie 2-algebra of a natural Lie 2-algebra structure on an exact Courant algebroid. We generalize this statement to arbitrary n-plectic manifolds and study automorphisms on the arising Lie n-algebras. Our observations may be useful in studying the quantization problem on multisymplectic manifolds.

研究动机与目标

• 将已知的局部可观测量的强同伦李代数构造从2-plectic推广到任意n-plectic流形。
• 解决shlalos的弱自同构不保持底层n-plectic流形结构的问题。
• 通过在shlalos中添加在弱自同构下变换的k-元分次反对称括号，建立shlalos到n-plectic流形的函子性赋值。
• 证明n-plectic流形上局部可观测量的李n-代数弱同构于扭曲Vinogradov代数胚截面的李n-代数的子代数。
• 通过将n-plectic流形识别为具有增强结构的辛李n-代数胚，为其提供范畴化的泊松结构。

提出的方法

• 使用微分形式和哈密顿多向量场，在n-plectic流形上构造局部可观测量的强同伦李代数。
• 将扭曲Vinogradov代数胚定义为Atiyah代数胚和Courant代数胚的推广，其底丛为 $ TM \bigoplus \bigwedge^{n-1}T^*M $，由n-plectic形式扭曲。
• 证明扭曲Vinogradov代数胚截面的李n-代数包含一个弱同构于局部可观测量shlalo的子代数。
• 通过添加度数为 $1-k$ 的k-元分次反对称括号，定义增强n-plectic流形，这些括号在弱自同构下非平凡变换。
• 使用 $L_\infty$ 代数的余代数形式，通过在约化对称代数 $\bar{S}(V)$ 上的余微分算子，描述同伦关系和结构映射。
• 在整个过程中一致应用Koszul符号约定，以处理coproducts、unshuffles和余微分算子中的分次符号。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将2-plectic流形上局部可观测量的李2-代数推广到任意n-plectic流形？
• RQ2 为何标准的shlalo到Courant代数胚截面的李n-代数的嵌入不严格？如何修复此问题？
• RQ3 必须在n-plectic流形上添加何种结构，才能确保其关联shlalo的弱自同构对应于增强流形的自同构？
• RQ4 n-plectic流形上局部可观测量的李n-代数能否自然地嵌入到更高阶Courant代数胚的截面的李n-代数中？
• RQ5 是否存在n-plectic流形的自然范畴化解释，将其视为辛李n-代数胚？这与shlalo的结构有何关联？

主要发现

• n-plectic流形上局部可观测量的shlalo弱同构于扭曲Vinogradov代数胚全局截面的李n-代数的子代数。
• 将shlalo嵌入到扭曲Vinogradov代数胚截面的李n-代数中需要弱同构，表明严格自同构结构存在不匹配。
• shlalo的弱自同构不保持底层n-plectic流形结构，导致在标准设定下无法实现严格函子性。
• 在n-plectic流形上添加度数为 $1-k$ 的k-元分次反对称括号，可恢复弱自同构下的函子性。
• 具有此类括号的增强n-plectic流形同构于辛李n-代数胚，为辛流形提供了自然的范畴化。
• shlalo的底层2-向量空间同构于辛李1-代数胚 $T[1]M$ 上0度函数的代数，确认了范畴化可观测量的几何实现。