[论文解读] The Fairness of Leximin in Allocation of Indivisible Chores

Xingyu Chen, Zijie Liu|arXiv (Cornell University)|May 11, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文将一种以公平性为优化目标的分配规则——leximin 解决方案——扩展至不可分的杂务（chores）以及混合商品-杂务设置，证明其在具有可加性估值的3至4名代理人中实现 PROP1 和帕累托最优（PO），在相同且非零的边际效用估值下实现 EFX 公平性与帕累托最优。该方法将 leximin 扩展以处理负效用，确保在杂务分配中具备强公平性保障。

ABSTRACT

The leximin solution -- which selects an allocation that maximizes the minimum utility, then the second minimum utility, and so forth -- is known to provide EFX (envy-free up to any good) fairness guarantee in some contexts when allocating indivisible goods. However, it remains unknown how fair the leximin solution is when used to allocate indivisible chores. In this paper, we demonstrate that the leximin solution can be modified to also provide compelling fairness guarantees for the allocation of indivisible chores. First, we generalize the definition of the leximin solution. Then, we show that the leximin solution finds a PROP1 (proportional up to one good) and PO (Pareto-optimal) allocation for 3 or 4 agents in the context of chores allocation with additive distinct valuations. Additionally, we prove that the leximin solution is EFX for combinations of goods and chores for agents with general but identical valuations.

研究动机与目标

• 为填补不可分杂务分配中公平性保障的空白，因为现有商品分配方案无法直接推广。
• 将此前仅用于商品的 leximin 解决方案扩展至处理杂务分配中的负效用。
• 建立广义 leximin 解决方案可确保在具有可加性且互异估值的3或4名代理人中实现 PROP1 和帕累托最优。
• 证明在代理人具有相同且非零边际效用估值时，leximin 解决方案在混合商品与杂务分配中可实现 EFX 公平性与帕累托最优。

提出的方法

• 通过重新定义效用排序方式，将 leximin 解决方案推广以处理负效用，优先最小化最不利代理人所承受的不满（disutility）。
• 定义一种新的效用比较顺序，使杂务（负效用）在 leximin 排名中与商品（正效用）保持一致。
• 通过比较各代理人效用向量的字典序排序，选择使最小效用最大化的分配方案，随后最大化第二小的效用，依此类推。
• 应用广义 leximin 解决方案，通过反证法证明公平性保障：假设存在非 PROPRIETARY 或非 EFX 的分配，将导致更优的 leximin 结果。
• 引入非零边际效用假设，以确保添加或移除某项物品会严格改变效用，从而支持 PO 与 EFX 的证明。
• 构建辅助分配方案与原始方案进行比较，表明任何非 leximin 的分配均可在 leximin 准则下被改进，从而证明其最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 leximin 解决方案能否被广义化，以在不可分杂务分配中提供公平性保障？
• RQ2 在具有可加性且互异估值的杂务分配中，leximin 解决方案是否能保证3或4名代理人实现 PROP1 和帕累托最优？
• RQ3 在代理人具有相同且非零边际效用估值时，leximin 解决方案能否在混合商品与杂务分配中实现 EFX 公平性与帕累托最优？
• RQ4 是否存在一种系统化、基于优化的方法，可将 EFX 和 PROP1 等公平性概念扩展至具有负效用（杂务）的场景？

主要发现

• 广义 leximin 解决方案在具有可加性且互异估值的不可分杂务分配中，可保证实现 PROP1 和帕累托最优。
• 在商品与杂务的混合分配中，当代理人具有相同且非零边际效用估值时，leximin 解决方案可实现 EFX 公平性。
• 在非零边际效用假设下，leximin 解决方案在具有相同估值的混合商品-杂务设置中同样确保帕累托最优。
• 证明技术表明，任何违反 EFX 的分配均可在 leximin 准则下被改进，意味着 leximin 解决方案本身必然是 EFX 的。
• 广义 leximin 解决方案通过优先最小化最差代理人的不满程度，随后是最差第二名，依此类推，从而维持公平性与效率。
• 该方法成功将 leximin 框架扩展至负效用物品，证明其在商品分配之外的鲁棒性。