[论文解读] The formulation of the Chern-Simons action for general compact Lie groups using Deligne cohomology

Kiyonori Gomi|ArXiv.org|Apr 23, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文利用Deligne上同调，为任意紧致李群构造了Chern-Simons作用量，使其在具有边界的3-流形上也能保持一致。该作用量被定义为从流形到分类空间 $BG$ 的映射空间上的 $\tau$-值函数，当流形具有边界时，它成为一初始线丛上的截面，从而确保与粘合操作和拓扑不变性相容。

ABSTRACT

We formulate the Chern-Simons action for any compact Lie group using Deligne cohomology. This action is defined as a certain function on the space of smooth maps from the underlying 3-manifold to the classifying space for principal bundles. If the 3-manifold is closed, the action is a function with values in complex numbers. If the 3-manifold is not closed, then the action is a section of a Hermitian line bundle associated with the Riemann surface which appears as the boundary.

研究动机与目标

• 将Chern-Simons作用量从单连通群推广至任意紧致李群。
• 解决在具有边界的3-流形上定义作用量的问题，传统微分特征方法在此失效。
• 利用Deligne上同调构造一个几何上一致的作用量，尊重诸如粘合与方向反转等拓扑操作。
• 在从边界黎曼曲面到 $BG$ 的映射空间上定义一个规范的Hermitian线丛，其截面编码作用量。
• 证明作用量满足经典场论的基本公理，包括粘合、方向与可加性。

提出的方法

• 通过特征4-形式 $\frac{1}{8\pi^2} \operatorname{Tr}(F_u \wedge F_u)$，将普遍Chern-Simons类表示为Deligne上同调类 $c_u \in H^3(BG, \mathcal{F}^3)$。
• 使用 $c_u$ 的Čech上链代表，定义映射空间 $\mathrm{Map}(M, BG)$ 上开子集上的局部函数 $\mathcal{A}_{M;A}$。
• 利用Čech上链导出的转移函数，在 $\mathrm{Map}(\Sigma, BG)$ 上构造一个Hermitian线丛 $\mathcal{L}_\Sigma$。
• 当 $M$ 有边界时，将全局Chern-Simons作用量 $\mathcal{A}_M$ 定义为拉回线丛 $r^*\mathcal{L}_{\partial M}$ 上的截面。
• 通过验证作用量在嵌入曲面上限制与收缩时的变换行为，确保其在粘合下的一致性。
• 通过基于三角剖分的局部项显式计算，验证作用量与线丛上联络的相容性，利用平行移动实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一般紧致李群上一致地定义Chern-Simons作用量，特别是在具有边界的3-流形上？
• RQ2 在非单连通情形下，$\mathbb{C}^*$-值作用量被何种几何结构所取代？
• RQ3 作用量在诸如粘合、方向反转与不相交并集等拓扑操作下如何表现？
• RQ4 Chern-Simons作用量能否被解释为一个线丛上的截面？若是，该线丛的几何意义为何？
• RQ5 作用量是否与线丛上的联络相容？是否能重现预期的平行移动？

主要发现

• 当 $M$ 为闭流形时，Chern-Simons作用量被定义为 $\mathrm{Map}(M, BG)$ 上的 $\mathbb{T}$-值函数；当 $M$ 有边界时，它成为拉回线丛 $r^*\mathcal{L}_{\partial M}$ 上的截面。
• Chern-Simons线丛 $\mathcal{L}_\Sigma$ 在 $\mathrm{Map}(\Sigma, BG)$ 上定义良好，其同构类仅依赖于Deligne上同调类 $c_u$。
• 作用量满足粘合公理：沿曲面 $\Sigma$ 切割后，有 $\operatorname{Tr}_\xi(\mathcal{A}_{M_{\text{cut}}}) = \mathcal{A}_M$。
• 作用量与方向反转相容：$\mathcal{A}_{-M}(\gamma) = \overline{\mathcal{A}_M(\gamma)}$，且 $\mathcal{L}_{-\Sigma} \cong \mathcal{L}_\Sigma^*$。
• 作用量在不相交并集下具有可加性：$\mathcal{A}_{M_1 \sqcup M_2} = \mathcal{A}_{M_1} \otimes \mathcal{A}_{M_2}$，线丛亦具有相应的张量积结构。
• 作用量能重现沿路径的平行移动：$\mathcal{A}^{-1}_{\Sigma \times I}(\Gamma)$ 等于联络 $\nabla$ 沿路径 $\gamma$ 的平行移动。