[论文解读] Regulators of canonical extensions are torsion: the smooth divisor case

Jaya Nn Iyer, Carlos Simpson|ArXiv.org|Jul 3, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文通过证明在光滑拟射影代数簇上具有无穷远处单值单根的平坦向量丛的二级陈-西蒙斯类（作为德利涅典范扩张的调节器）在 $ H^{2p-1}(X, \mathbb{C}/\mathbb{Z}) $ 中是挠类（当 $ p > 1 $ 时），推广了雷茨尼科夫定理。证明方法基于复极化结构的形变与调节器的刚性，将挠性结果推广至在无穷远处带有光滑除子的紧化空间 $ X $ 上的德利涅陈类。

ABSTRACT

In this paper, we prove a generalization of Reznikov's theorem which says that the Chern-Simons classes and in particular the Deligne Chern classes (in degrees $>1$) are torsion, of a flat bundle on a smooth complex projective variety. We consider the case of a smooth quasi--projective variety with an irreducible smooth divisor at infinity. We define the Chern-Simons classes of Deligne's canonical extension of a flat vector bundle with unipotent monodromy at infinity, which lift the Deligne Chern classes and prove that these classes are torsion.

研究动机与目标

• 将雷茨尼科夫关于陈-西蒙斯类挠性的定理推广至具有无穷远处光滑除子的光滑拟射影代数簇的情形。
• 在紧化空间 $ X $ 上定义二级类，使其上拉德利涅陈类为平坦丛的典范扩张的陈类。
• 证明这些二级类在 $ H^{2p-1}(X, \mathbb{C}/\mathbb{Z}) $ 中是挠类（当 $ p > 1 $ 时），从而推广了此情形下的布洛赫猜想。
• 建立当 $ X $ 为射影空间时，典范扩张的德利涅陈类为挠类的结论。

提出的方法

• 利用 $ C^\infty $-平凡化与除子邻域上的局部联络形式，在德利涅典范扩张上构造一个拼接联络。
• 在 $ H^{2p-1}(X, \mathbb{C}/\mathbb{Z}) $ 中定义二级类为该拼接联络的调节器，其上拉德利涅陈类。
• 利用二级类在单值表示形变下的刚性，将问题约化至定义在数域上的表示。
• 通过莫齐库基定理将表示形变为复极化结构，同时保持单值单根性质。
• 应用博雷尔关于体积调节器的定理与雷茨尼科夫的论证，证明全纯类的拉回是挠类。
• 利用复极化结构下体积调节器消失的事实，得出调节器类为挠类的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ p > 1 $ 时，具有无穷远处单值单根的平坦丛的二级陈-西蒙斯类是否在 $ H^{2p-1}(X, \mathbb{C}/\mathbb{Z}) $ 中为挠类？
• RQ2 能否证明在具有无穷远处光滑除子的光滑拟射影代数簇上，平坦丛的典范扩张的德利涅陈类为挠类？
• RQ3 通过典范扩张上的拼接联络定义的调节器类是否上拉德利涅陈类且保持挠性？
• RQ4 能否通过形变为复极化结构来建立调节器挠性的结论？
• RQ5 在此扩展设定下，体积调节器与二级类挠性之间存在何种关系？

主要发现

• 通过典范扩张上的拼接联络定义的二级类 $ \widehat{c}_p(\rho/X) \in H^{2p-1}(X, \mathbb{C}/\mathbb{Z}) $ 在 $ p > 1 $ 时为挠类。
• 当 $ X $ 为射影空间时，典范扩张的德利涅陈类 $ c^\mathcal{D}_p(E_X) \in H^{2p}_\mathcal{D}(X, \mathbb{Z}(p)) $ 为挠类。
• 调节器类在单值表示形变下保持不变，从而可约化至数域上的表示。
• 复极化结构下，体积调节器 $ Vol_{2p-1}(\rho^\sigma) \in H^{2p-1}(X, \mathbb{R}) $ 消失，从而推出调节器类为挠类。
• 证明依赖于调节器的刚性，以及在同调上拉回的全纯类在有理同调上为零，故为挠类。
• 该结果将雷茨尼科夫定理推广至具有无穷远处光滑除子的光滑拟射影代数簇情形，推广了布洛赫猜想。