[论文解读] The Fractional Langevin Equation: Brownian Motion Revisited

Francesco Mainardi, Paolo Pironi|ArXiv.org|Jun 5, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用 34

一句话总结

本文通过引入一种基于分数阶微积分的分数阶朗之万方程，将巴斯蒂型记忆力（Basset-type memory force）纳入布朗运动模型，实现了在长时间尺度下非重粒子的异常扩散行为（α > 1），即超扩散，随后过渡至正常扩散。该方法采用黎曼-刘维尔分数阶导数来描述迟滞摩擦力，从而获得速度和随机力相关函数以及均方位移的闭式解析解。

ABSTRACT

We have revisited the Brownian motion on the basis of the fractional Langevin equation which turns out to be a particular case of the generalized Langevin equation introduced by Kubo on 1966. The importance of our approach is to model the Brownian motion more realistically than the usual one based on the classical Langevin equation, in that it takes into account also the retarding effects due to hydrodynamic backflow, i.e. the added mass and the Basset memory drag. On the basis of the two fluctuation-dissipation theorems and of the techniques of the Fractional Calculus we have provided the analytical expressions of the correlation functions (both for the random force and the particle velocity) and of the mean squared particle displacement. The random force has been shown to be represented by a superposition of the usual white noise with a "fractional" noise. The velocity correlation function is no longer expressed by a simple exponential but exhibits a slower decay, proportional to $t^{-3/2}$ as $t o \infty$, which indeed is more realistic. Finally, the mean squared displacement has been shown to maintain, for sufficiently long times, the linear behaviour which is typical of normal diffusion, with the same diffusion coefficient of the classical case. However, the Basset history force induces a retarding effect in the establishing of the linear behaviour, which in some cases could appear as a manifestation of anomalous diffusion to be correctly interpreted in experimental measurements.

研究动机与目标

• 通过引入考虑流体惯性和迟滞效应的流体动力学记忆力（Basset-Boussinesq力），将经典朗之万方程进行扩展。
• 利用分数阶微积分，特别是1/2阶黎曼-刘维尔分数阶导数，描述非马尔可夫性摩擦力，以建模由此产生的动力学行为。
• 在广义框架下，推导速度自相关函数、随机力相关函数以及均方位移（MSD）的解析表达式。
• 研究异常扩散（特别是α > 1的超扩散）在何时出现，以及在向正常扩散过渡之前的行为条件。
• 阐明粒子质量与流体性质在长时极限下决定从异常扩散向正常扩散转变的作用。

提出的方法

• 将经典朗之万方程中的马尔可夫性摩擦项替换为1/2阶分数阶导数，以表示Basset-Boussinesq记忆力。
• 通过1/2阶黎曼-刘维尔分数阶积分重新表述Basset力，从而可利用拉普拉斯变换技术实现解析求解。
• 通过在拉普拉斯域求解分数阶朗之万方程，并利用伽马函数性质与广义函数（Gel’fand-Shilov分布）的特性，推导出速度相关函数。
• 通过涨落-耗散定理获得随机力相关函数，确保其与速度相关函数及稳态麦克斯韦分布的一致性。
• 利用维纳-辛钦定理和拉普拉斯反演，从速度相关函数计算均方位移（MSD），在长时极限下得到幂律依赖关系，指数为α = 3/2。
• 通过证明分数阶导数形式在记忆消失极限下可恢复经典的速度相关函数指数衰减，验证了解的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Basset-Boussinesq力（考虑流体惯性和迟滞效应）能否在分数阶微积分框架下被一致地建模？
• RQ2 在分数阶摩擦力作用下，速度自相关函数的解析形式为何？
• RQ3 通过分数阶导数引入记忆效应是否会导致异常扩散？若是，均方位移的指数α为何？
• RQ4 在何种条件下（如粒子质量、流体黏度等）会出现超扩散（α > 1）行为，且在系统过渡至正常扩散前持续存在？
• RQ5 在分数阶朗之万框架下，随机力相关函数与涨落-耗散定理如何适应？

主要发现

• 速度自相关函数在长时间下按幂律衰减，形式为∼ t^(-3/2)，表明由于记忆效应导致非指数弛豫。
• 对于非重粒子，在中长时区间内，均方位移表现出超扩散行为，指数为α = 3/2，即⟨x²(t)⟩ ∼ t^{3/2}。
• 随机力相关函数与t^(-3/2)成正比，与分数阶设定下的涨落-耗散定理一致。
• 采用1/2阶导数描述记忆力的分数阶朗之万方程，在拉普拉斯域中获得速度的闭式解，通过伽马函数恒等式实现解析反演。
• Basset力被严格表示为1/2阶黎曼-刘维尔分数阶导数，从而可应用拉普拉斯变换技术与广义函数理论。
• 对于足够轻的粒子（χ ≪ 1），系统在长时极限前表现出异常超扩散的瞬态阶段，随后渐近趋于正常扩散（α = 1）行为。