[论文解读] The global geometry of surfaces with prescribed mean curvature in $\mathbb{R}^3$

Antonio Bueno, José A. Gálvez+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 50被引用 13

一句话总结

本文为 $\mathbb{R}^3$ 中具有给定平均曲率 $\mathcal{H}$ 的完备曲面建立了全局理论，其中平均曲率是高斯映射的 $C^1$ 函数。本文建立了先验高度与曲率估计，证明了在某些条件下完备稳定曲面的非存在性，并在适当假设下对具有至多一个端的恰当嵌入曲面进行了分类，从而推广了常平均曲率及自平移孤立子的古典结果。

ABSTRACT

We develop a global theory for complete hypersurfaces in $\mathbb{R}^{n+1}$ whose mean curvature is given as a prescribed function of its Gauss map. This theory extends the usual one of constant mean curvature hypersurfaces in $\mathbb{R}^{n+1}$, and also that of self-translating solitons of the mean curvature flow. For the particular case $n=2$, we will obtain results regarding a priori height and curvature estimates, non-existence of complete stable surfaces, and classification of properly embedded surfaces with at most one end.

研究动机与目标

• 将常平均曲率（CMC）超曲面及平均曲率流的自平移孤立子的全局理论推广至 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的 $\mathcal{H}$-超曲面这一更广泛的类。
• 在对 $\mathcal{H}$ 作较弱假设的条件下，为 $\mathbb{R}^3$ 中的完备 $\mathcal{H}$-曲面建立先验高度与曲率估计。
• 在 $\mathcal{H}$ 满足某些对称性与正性条件时，证明 $\mathbb{R}^3$ 中完备稳定 $\mathcal{H}$-曲面的非存在性。
• 在 $\mathcal{H}$ 具有适当正则性与对称性的假设下，对 $\mathbb{R}^3$ 中具有至多一个端的恰当嵌入 $\mathcal{H}$-曲面进行分类。
• 为具有一致有界第二基本形式的 $\mathcal{H}$-曲面序列发展紧致性理论，从而收敛于常平均曲率曲面。

提出的方法

• 利用最大值原理，并通过在切超平面上的图表示，将 $\mathcal{H}$-曲面表示为局部拟线性椭圆型偏微分方程。
• 在 $\mathcal{H}$ 具有对称性的假设下，应用移动平面法与亚历山大洛夫反射原理，推导出几何约束。
• 对第二基本形式发散的 $\mathcal{H}$-曲面序列应用缩放技术，以提取常平均曲率的极限曲面。
• 利用 $\mathcal{H}$-曲面的稳定性条件控制施特姆-刘维尔算子，并推导出收敛于稳定 CMC 曲面的结果。
• 在 $C^3$ 拓扑下应用紧致性定理于缩放后的曲面，利用曲率的统一有界性与 $\mathcal{H}$-函数在 $C^1(\mathbb{S}^2)$ 中的收敛性。
• 分析在 $\mathcal{H}$ 的梯度与海塞矩阵趋于零时，缩放后 $\mathcal{H}$-曲面的极限行为，当极限平均曲率为非零时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\mathbb{R}^3$ 中的完备 $\mathcal{H}$-曲面能获得先验高度与曲率估计？
• RQ2 在对称性与正性假设下，能否证明非常数 $\mathcal{H}$ 的完备稳定 $\mathcal{H}$-曲面的非存在性？
• RQ3 在 $\mathbb{R}^3$ 中，具有至多一个端的恰当嵌入 $\mathcal{H}$-曲面如何分类？
• RQ4 具有有界第二基本形式的 $\mathcal{H}$-曲面序列在缩放后行为如何？
• RQ5 当给定平均曲率函数在 $C^1(\mathbb{S}^2)$ 中收敛于零时，缩放后 $\mathcal{H}$-曲面的极限会发生什么？

主要发现

• 若 $\mathcal{H}$ 不恒为零且满足充分的对称性与正性条件，则 $\mathbb{R}^3$ 中不存在完备稳定 $\mathcal{H}$-曲面。
• 若存在某点 $x_0 \in \mathbb{S}^2$ 使得 $\mathcal{H}(x_0) = 0$，则 $\mathbb{R}^3$ 中不存在紧致 $\mathcal{H}$-超曲面。
• 在对 $\mathcal{H}$ 作较弱正则性与对称性假设下，$\mathbb{R}^3$ 中具有至多一个端的恰当嵌入 $\mathcal{H}$-曲面被分类。
• 对于具有统一有界第二基本形式且 $\mathcal{H}$-函数在 $C^1(\mathbb{S}^2)$ 中收敛于零的 $\mathcal{H}$-曲面序列，经缩放后，其子序列在 $C^3$ 拓扑下收敛于一个平面。
• 当 $\mathcal{H}$-梯度与海塞矩阵趋于零时，缩放后 $\mathcal{H}$-曲面的极限必为稳定常平均曲率曲面；若极限平均曲率为非零，则导致矛盾。
• 稳定 $\mathcal{H}$-曲面非存在性证明的关键在于：极限曲面必为平面，这意味着缩放后的平均曲率函数必须趋于零，与非零极限平均曲率的假设矛盾。