[论文解读] The Grothendieck Construction and Gradings for Enriched Categories

Dai Tamaki|ArXiv.org|Jul 1, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用 10

一句话总结

本文将格罗滕迪克构造推广至满足温和条件的对称张量范畴上的丰富范畴，如 k-模、链复形和拓扑空间。它引入了广义的分次范畴概念，并证明格罗滕迪克构造的像落在该范畴中，从而确立其为张量积构造给出右伴随的张量积构造的左伴随。

ABSTRACT

The Grothendieck construction is a process to form a single category from a diagram of small categories. In this paper, we extend the definition of the Grothendieck construction to diagrams of small categories enriched over a symmetric monoidal category satisfying certain conditions. Symmetric monoidal categories satisfying the conditions in this paper include the category of $k$-modules over a commutative ring $k$, the category of chain complexes, the category of simplicial sets, the category of topological spaces, and the category of modern spectra. In particular, we obtain a generalization of the orbit category construction in [math/0312214]. We also extend the notion of graded categories and show that the Grothendieck construction takes values in the category of graded categories. Our definition of graded category does not require any coproduct decompositions and generalizes $k$-linear graded categories indexed by small categories defined by Lowen. There are two popular ways to construct functors from the category of graded categories to the category of oplax functors. One of them is the smash product construction defined and studied in [math/0312214,0807.4706,0905.3884] for $k$-linear categories and the other one is the fiber functor. We construct extensions of these functors for enriched categories and show that they are ``right adjoint'' to the Grothendieck construction in suitable senses. As a byproduct, we obtain a new short description of small enriched categories.

研究动机与目标

• 将格罗滕迪克构造从普通范畴推广至对称张量范畴上的丰富范畴。
• 在不依赖于余积分解的前提下，定义一种分次范畴的新概念，广义化 k-线性分次范畴。
• 证明格罗滕迪克构造的取值范畴为分次范畴。
• 在丰富范畴设定下，通过张量积和纤维函子构造格罗滕迪克构造的右伴随。
• 利用伴随结构，为小的丰富范畴提供一种新的简短描述。

提出的方法

• 为取值于 V-范畴的伪张量函子定义格罗滕迪克构造，其中 V 是具有积和内部同态的对称张量范畴。
• 构造范畴 Gr(X) 作为 V-范畴，其对象为对 (x, f)，其中 x ∈ X(i)，f: i → j 在 I 中，且态射通过复合态射的余积定义。
• 将分次范畴定义为配备到小范畴 I 上的分次函子的 V-范畴，广义化 k-线性分次范畴。
• 将张量积构造定义为格罗滕迪克构造的右伴随，广义化 [CM06] 中的构造至丰富设定。
• 证明格罗滕迪克构造是到对角函子的左伴随，并将其推广为 2-函子伴随。
• 通过余模范畴（特别是余单群上的余模范畴）利用对偶范畴和对偶范畴实现丰富设定下的格罗滕迪克构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 格罗滕迪克构造如何推广至具有积和内部同态的对称张量范畴上的丰富范畴？
• RQ2 在不依赖于余积分解的前提下，丰富范畴的合适分次概念是什么？
• RQ3 在丰富设定下，格罗滕迪克构造能否被表征为从分次范畴到伪张量函子函子的函子的左伴随？
• RQ4 张量积和纤维函子如何在丰富范畴中推广？它们是否为格罗滕迪克构造的右伴随？
• RQ5 格罗滕迪克构造与丰富设定下的同伦余上积之间有何关系，特别是对于链复形或谱范畴？

主要发现

• 格罗滕迪克构造被推广至具有积和内部同态的对称张量范畴上的丰富范畴，包括 k-模、链复形、单纯集、拓扑空间和谱。
• 该构造的取值范畴为分次范畴，广义化了经典情形，并将概念扩展至 k-线性范畴之外。
• 通过张量积构造，构建了一个新的 2-函子右伴随，广义化了 [CM06] 中的构造至丰富设定。
• 证明格罗滕迪克构造是到从丰富范畴到伪张量函子函子的对角函子的左伴随，伴随关系通过余范畴建立。
• 将纤维函子构造推广至丰富范畴，并证明其在适当的 2-范畴意义下为格罗滕迪克构造的右伴随。
• 本文通过伴随结构，为小的丰富范畴提供了一种新的简短描述：即作为格罗滕迪克构造应用于伪张量函子的像。