[论文解读] The Halo Mass Function from the Excursion Set Method. I. First principle derivation for the non-markovian case of gaussian fluctuations and generic filter

Michele Maggiore, Antonio Riotto|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2009

Astronomy and Astrophysical Research被引用 3

一句话总结

本文通过非马尔可夫动力学与通用滤波器及高斯涨落的穿越集方法，首次从基本原理推导了晕质量函数。通过将问题表述为带有吸收边界条件的路径积分，获得了与坐标空间中tophat滤波器的蒙特卡洛模拟完全一致的解析结果，建立了严格的数学基础，并揭示了固定屏障标准球形坍缩模型的局限性。

ABSTRACT

A classic method to compute the mass function of dark matter halos is the excursion set method. To date, however, analytical results were only obtained if the density perturbation is smoothed with a sharp filter in momentum space: the dynamics is then markovian, and the probability satisfies the Fokker-Planck equation, with an "absorbing barrier" boundary condition. For different filters or when non-Gaussianity is present, the dynamics becomes non-markovian, the probability does not satisfy a local diffusion equation, and even the notion of absorbing barrier may be ill-defined. We develop an approach from first principles for computing analytically the halo mass function, formulating the problem in terms of a path integral with boundaries, valid for a generic filter function and arbitrary non-Gaussian theories. We perform explicitly the computation of the halo mass function with a tophat filter in coordinate space, finding full agreement with existing Monte Carlo simulations. These results put excursion set theory on firmer mathematical foundation and confirm that excursion set theory does not reproduce well the results of N-body simulations when combined with the spherical collapse model with fixed collapse barrier. In paper II of this series we show that this discrepancy disappears when one properly takes into account the fact that the collapse barrier is itself of stochastic nature, and in paper III we use the formalism deve loped in this paper to compute from first principles the effect of non-Gaussianities on the halo mass function.

研究动机与目标

• 开发一种数学上严格、基于基本原理的方法，用于在超越马尔可夫近似的情况下计算晕质量函数。
• 解决标准穿越集理论在使用固定坍缩屏障和球形坍缩模型时的失败问题，该问题无法匹配N体模拟结果。
• 将穿越集方法推广至任意滤波函数和非马尔可夫动力学，包括高斯初始条件。
• 为后续论文分析晕质量函数中的非高斯性奠定基础。

提出的方法

• 将晕形成问题表述为带有吸收边界条件的路径积分，表示达到坍缩阈值的首达时间。
• 在坐标空间中使用通用滤波函数（具体为tophat滤波器）来定义密度扰动的平滑尺度依赖性。
• 通过避免仅适用于马尔可夫情形的福克-普朗克方程，来建模密度场演化的非马尔可夫性质。
• 利用随机过程理论推导首达时间分布，考虑平滑演化中的记忆效应。
• 对tophat滤波器解析求解路径积分，从而可与蒙特卡洛模拟进行比较。
• 证明在非马尔可夫动力学下，标准球形坍缩模型与固定屏障不一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否针对具有通用滤波函数的非马尔可夫动力学，解析推导晕质量函数？
• RQ2 为何使用固定坍缩屏障的标准穿越集方法无法再现N体模拟结果？
• RQ3 带有吸收边界的路径积分表述如何将穿越集方法推广至非马尔可夫情形？
• RQ4 滤波函数在非马尔可夫动力学中对晕质量函数的形状起何作用？
• RQ5 如何在穿越集形式化中正确地纳入坍缩屏障的随机性？

主要发现

• 使用坐标空间tophat滤波器的路径积分方法推导出的解析晕质量函数，与现有蒙特卡洛模拟结果完全一致。
• 标准穿越集方法中使用固定坍缩屏障和球形坍缩模型无法匹配模拟结果，是因为其未考虑密度场演化的非马尔可夫性质。
• 路径积分表述为超越马尔可夫极限的穿越集理论提供了数学上严格的理论基础。
• 非马尔可夫动力学否定了福克-普朗克方程的适用性，也否定了标准形式化中简单吸收屏障的概念。
• 标准模型与模拟之间的差异源于对坍缩屏障为确定性、固定值的错误假设。
• 结果表明，必须将坍缩屏障的随机性纳入模型，才能与N体模拟结果达成一致，如本系列论文II中所示。