[论文解读] The Heun differential equation and the Gauss differential equation related to quantum walks

Norio Konno, Takuya Machida+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

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一句话总结

该论文建立了线性上离散时间与连续时间量子行走极限分布之间的直接数学联系，其对应于两类二阶Fuchsian微分方程：离散时间行走对应Heun方程（HE），连续时间行走对应高斯超几何方程（GE）。通过从渐近密度函数推导出这些方程，作者表明在适当的标度极限下，离散时间行走的HE可简化为连续时间行走的GE，从而通过微分方程理论揭示了两种量子行走模型之间深刻的结构关联。

ABSTRACT

The limit theorems of discrete- and continuous-time quantum walks on the line have been intensively studied. We show a relation among limit distributions of quantum walks, Heun differential equations and Gauss differential equations. Indeed, we derive the second-order Fucksian differential equations which limit density functions of quantum walks satisfy. Moreover, using both differential equations, we discuss a relationship between discrete- and continuous-time quantum walks. Taking suitable limit, we can transform a Heun equation obtained from the limit density function of the discrete-time quantum walk to a Gauss equation given by that of the continuous-time quantum walk.

研究动机与目标

• 理解量子行走极限分布中出现的奇点的起源，这些奇点在底层动力学中并不存在。
• 推导一维量子行走极限密度函数所满足的二阶Fuchsian微分方程。
• 通过微分方程建立离散时间与连续时间量子行走之间的数学桥梁。
• 探索量子行走、Heun方程与可积量子系统（如$BC_1$ Inozemtsev模型）之间的联系。

提出的方法

• 推导离散时间量子行走极限密度函数所满足的二阶Fuchsian微分方程，将其识别为Heun方程（HE）。
• 证明连续时间量子行走的极限密度函数满足高斯超几何微分方程（GE）。
• 通过极限过程将离散时间行走的HE转化为连续时间行走的GE，证明二者渐近等价。
• 通过变量替换和自变量变换，将HE与$BC_1$ Inozemtsev哈密顿量联系起来，建立量子行走与可积量子系统之间的联系。
• 利用Weierstrass ℘-函数与特定参数选择，将HE转化为$BC_1$ Inozemtsev模型的本征值方程。
• 通过代入$x^2 = z$于密度函数，建立测度对应关系，导出分别满足HE与GE的权函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子行走极限分布中观察到的奇点如何从数学上解释？
• RQ2 一维离散时间量子行走的极限密度函数由何种微分方程控制？
• RQ3 一维连续时间量子行走的极限密度函数由何种微分方程控制？
• RQ4 能否通过极限过程将离散时间行走导出的Heun方程转化为连续时间行走的高斯方程？
• RQ5 Heun方程、高斯方程与$BC_1$ Inozemtsev可积量子系统之间存在何种联系？

主要发现

• 离散时间量子行走的极限密度函数满足一个具有四个正则奇点的二阶Fuchsian微分方程，其为参数$\alpha=\beta=2$，$\gamma=\delta=\frac{3}{2}$，$\epsilon=\frac{3}{2}$，$q=\frac{3|a|^2+2}{2}$，$\theta=|a|^2$的Heun方程。
• 连续时间量子行走的极限密度函数满足参数为$\alpha=\beta=1$，$\gamma=\frac{3}{2}$的高斯超几何微分方程。
• 在标度极限下，离散时间行走的Heun方程退化为连续时间行走的高斯方程，证实了两种模型之间的数学对应关系。
• 从离散时间行走极限密度导出的Heun方程，通过特定参数$l_0=-\frac{1}{2}$，$l_1=0$，$l_2=-\frac{3}{2}$，$l_3=1$及本征值$\frac{2-|a|^2}{12}\{\wp(w_1)-\wp(-w_1-w_3)\}$，可转化为$BC_1$ Inozemtsev哈密顿量的本征值方程。
• 离散时间行走的测度$f^{(d)}(x)\,dx$，经代入$x^2 = z$后，得到满足Heun方程的权函数$w^{(d)}(z)$。
• 连续时间行走的测度$f^{(c)}(x)\,dx$，经代入$x^2/4\nu^2 = z$后，得到满足高斯超几何方程的权函数$w^{(c)}(z)$。