[论文解读] The homotopy fixed points of the circle action on Hochschild homology

Marc Hoyois|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文证明了微分分次范畴的负循环同调与周期循环同调，分别同构于其霍赫希尔德复形上典范圆作用的同伦固定点与塔特固定点。通过将康奈斯的 $B$-算子识别为该圆作用的模型，该工作统一了经典循环同调理论与等变同伦理论，解决了负循环情形下长期存在的文献空白。

ABSTRACT

We show that Connes' B-operator on a cyclic differential graded k-module M is a model for the canonical circle action on the geometric realization of M. This implies that the negative cyclic homology and the periodic cyclic homology of a differential graded category can be identified with the homotopy fixed points and the Tate fixed points of the circle action on its Hochschild complex.

研究动机与目标

• 通过霍赫希尔德同调上的圆作用，阐明经典循环同调理论与等变同伦理论之间的关系。
• 证明微分分次范畴的负循环同调与该范畴霍赫希尔德复形上圆作用的同伦固定点一致，填补了文献中的空白。
• 证明微分分次范畴的周期循环同调同构于同一作用的塔特固定点，完成对循环同调的等变解释。
• 将经典循环、负循环与周期同调的定义推广至对称单幕 $Υ$-范畴上的 $Υ$-范畴，确保与经典构造的一致性。

提出的方法

• 利用在对称单幕 $Υ$-范畴中富集的 $Υ$-范畴的 $∞$-范畴，本文从范畴 $\mathcal{C}$ 构造一个循环对象 $\mathcal{C}^{\natural}$，其几何实现即为霍赫希尔德同调 $\mathrm{HH}(\mathcal{C})$。
• 通过 $∞$-群胚完成康奈斯的循环范畴 $\Lambda$，将圆作用建模为 $B\mathbb{T} \simeq \tilde{\Lambda}$，使得 $\mathrm{HH}(\mathcal{C})$ 获得 $\mathbb{T}$-作用。
• 本文使用函子 $u_{\mathbb{T}} = i^*$、$(-)_{h\mathbb{T}} = p_!$ 与 $(-)^{h\mathbb{T}} = p_*$，将循环对象的几何实现与同伦轨道及固定点联系起来。
• 通过构造使用算子 $b$、$b'$、$N$ 与 $\mathrm{id}-t$ 的双复形展开式，并证明该双复形的总复形拟同构于常数 $k$-模 $\underline{k}$，从而确立关键的拟同构。
• 通过分析对偶复形的上同调，本文识别出对应于圆作用的生成元 $\delta \in H^2(B\mathbb{T}, \mathbb{Z})$，并将其与 $B$-算子联系起来。
• 证明依赖于 $\Lambda$ 的结构定理，将态射表示为 $\Delta$-态射与自同构的复合，并利用此将同调计算约化为循环群上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 康奈斯在循环 $k$-模上的 $B$-算子如何与霍赫希尔德复形几何实现上的典范圆作用相关联？
• RQ2 微分分次范畴的负循环同调能否被识别为该范畴霍赫希尔德复形上圆作用的同伦固定点？
• RQ3 微分分次范畴的周期循环同调是否同构于其霍赫希尔德复形上圆作用的塔特固定点？
• RQ4 在 $∞$-范畴语境下，循环、负循环与周期同调的抽象定义在多大程度上能恢复 dg 范畴上的经典定义？

主要发现

• 循环 $k$-模上的 $B$-算子是霍赫希尔德复形几何实现上典范圆作用的模型。
• 负循环同调 $\mathrm{HN}(A)$ 同构于圆作用在霍赫希尔德复形上的同伦固定点 $\mathrm{HH}(A)^{h\mathbb{T}}$。
• 周期循环同调 $\mathrm{HP}(A)$ 同构于同一作用的塔特固定点 $\mathrm{HH}(A)^{t\mathbb{T}}$。
• 循环同调 $\mathrm{HC}(A)$ 被识别为同伦轨道 $\mathrm{HH}(A)_{h\mathbb{T}}$，以新视角确认了已知结果。
• 双复形 $K_{**}$ 的总复形拟同构于常数 $k$-模 $\underline{k}$，证明该展开式在正度数上是精确的。
• 生成元 $\delta \in H^2(B\mathbb{T}, \mathbb{Z})$ 对应于 $B$-算子，将圆作用与经典 $B$-微分联系起来。