[论文解读] The Kadison-Singer Problem for Strongly Rayleigh Measures and Applications to Asymmetric TSP

Nima Anari, Shayan Oveis Gharan|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 17

一句话总结

本文将 Marcus-Spielman-Srivastava 对 Kadison-Singer 问题的解法扩展至强 Rayleigh 测度，证明对于具有有界范数和小边际概率的各向同性向量，其支撑中存在一个子集，使得二次型和的谱范数较小。关键结果建立了谱范数上界 $4(\epsilon_1 + \epsilon_2) + 2(\epsilon_1 + \epsilon_2)^2$，从而为非对称 TSP 线性规划松弛的整数规划间隙提供了改进的上界。

ABSTRACT

Marcus, Spielman, and Srivastava in their seminal work \cite{MSS13} resolved the Kadison-Singer conjecture by proving that for any set of finitely supported independently distributed random vectors $v_1,\dots, v_n$ which have "small" expected squared norm and are in isotropic position (in expectation), there is a positive probability that the sum $\sum v_i v_i^\intercal$ has small spectral norm. Their proof crucially employs real stability of polynomials which is the natural generalization of real-rootedness to multivariate polynomials. Strongly Rayleigh distributions are families of probability distributions whose generating polynomials are real stable \cite{BBL09}. As independent distributions are just special cases of strongly Rayleigh measures, it is a natural question to see if the main theorem of \cite{MSS13} can be extended to families of vectors assigned to the elements of a strongly Rayleigh distribution. In this paper we answer this question affirmatively; we show that for any homogeneous strongly Rayleigh distribution where the marginal probabilities are upper bounded by $ε_1$ and any isotropic set of vectors assigned to the underlying elements whose norms are at most $\sqrt{ε_2}$, there is a set in the support of the distribution such that the spectral norm of the sum of the natural quadratic forms of the vectors assigned to the elements of the set is at most $O(ε_1+ε_2)$. We employ our theorem to provide a sufficient condition for the existence of spectrally thin trees. This, together with a recent work of the authors \cite{AO14}, provides an improved upper bound on the integrality gap of the natural LP relaxation of the Asymmetric Traveling Salesman Problem.

研究动机与目标

• 将 Marcus-Spielman-Srivastava 对 Kadison-Singer 问题的定理从独立向量推广至强 Rayleigh 分布的向量分配。
• 为具有小边际概率和有界向量范数的同质强 Rayleigh 分布中元素分配的向量二次型和，建立谱范数上界。
• 将主定理应用于证明谱薄树的存在性，从而改进非对称 TSP 线性规划松弛的整数规划间隙上界。
• 提供一种非算法性但基于存在性的结果，为未来非对称 TSP 的算法发展铺平道路。

提出的方法

• 利用实稳定多项式与混合特征多项式的理论，分析在强 Rayleigh 测度下向量和二次型的谱范数。
• 使用与测度 $\mu$ 及向量 $v_1, \dots, v_m$ 相关的混合特征多项式，以控制最大根（即和的谱范数）。
• 应用多变量屏障方法，控制变量增量下多项式根的演化，确保最大根保持有界。
• 采用提升技术，将向量划分问题转化为乘积测度设定，使主定理可应用于 r-划分问题。
• 利用交错族框架证明 $\mu$ 支撑中至少存在一个集合达到所需的谱范数上界。
• 推导出对边际概率和向量范数的控制，通过参数 $\epsilon_1 + \epsilon_2$ 控制谱范数，其中 $\epsilon_1$ 为最大边际概率，$\epsilon_2$ 为最大向量范数平方。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Marcus-Spielman-Srivastava 对独立向量的谱范数上界推广至强 Rayleigh 测度下的负相关向量情形？
• RQ2 当向量被分配至具有小边际概率和有界范数的强 Rayleigh 分布元素时，其二次型和的谱范数上界为何？
• RQ3 该扩展上界能否用于证明图中谱薄树的存在性，从而改进非对称 TSP 的整数规划间隙？
• RQ4 多变量屏障方法在非独立分布下是否有效控制根的演化？能否进一步改进以获得算法保证？

主要发现

• 本文证明，对于任意同质强 Rayleigh 测度，若边际概率不超过 $\epsilon_1$，且各向同性向量满足 $\|v_i\|^2 \leq \epsilon_2$，则其支撑中存在一个集合 $S$，使得 $\left\|\sum_{i \in S} v_i v_i^\top\right\| \leq 4(\epsilon_1 + \epsilon_2) + 2(\epsilon_1 + \epsilon_2)^2$。
• 该结果将原始 Marcus-Spielman-Srivastava 定理（仅适用于独立测度）推广至更广泛的强 Rayleigh 测度类，包括行列式测度和生成树测度。
• 该上界被用于证明在特定条件下谱薄树的存在性，结合已有工作，可得到非对称 TSP 线性规划松弛整数规划间隙的改进上界。
• 本文建立了非算法性存在性结果：尽管证明未给出多项式时间算法，但为未来非对称 TSP 的算法发展提供了理论基础。
• 通过证明 Weaver 的 KSr 猜想对 $r \geq 5$ 成立，验证了该方法的有效性，表明任意一组各向同性向量满足 $\|v_i\|^2 \leq \epsilon$ 时，均可实现 $r$-划分，使得每部分的谱范数不超过 $4(1/r + \epsilon) + 2(1/r + \epsilon)^2$。
• 分析依赖于对混合特征多项式应用的新型多变量屏障方法，精确控制导数与变量增量下的根演化。