[论文解读] Interlacing Families I: Bipartite Ramanujan Graphs of All Degrees

Adam W. Marcus, Daniel A. Spielman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Graph theory and applications参考文献 34被引用 46

一句话总结

本文引入交错多项式方法，证明了对所有度数大于2的情况，均存在无限多组二分Ramanujan图，从而解决了长期存在的一个猜想。通过分析随机带符号邻接矩阵的期望特征多项式的根，并利用特殊多项式族的交错性质，作者证明了此类图存在且具有最优谱扩展性，包括非正则的‘双正则’变体，其特征值界与理论极限完全匹配。

ABSTRACT

We prove that there exist infinite families of regular bipartite Ramanujan graphs of every degree bigger than 2. We do this by proving a variant of a conjecture of Bilu and Linial about the existence of good 2-lifts of every graph. We also establish the existence of infinite families of `irregular Ramanujan' graphs, whose eigenvalues are bounded by the spectral radius of their universal cover. Such families were conjectured to exist by Linial and others. In particular, we prove the existence of infinite families of (c,d)-biregular bipartite graphs with all non-trivial eigenvalues bounded by sqrt{c-1}+sqrt{d-1}, for all c, d \geq 3. Our proof exploits a new technique for demonstrating the existence of useful combinatorial objects that we call the "method of interlacing polynomials'".

研究动机与目标

• 解决Lubotzky关于对所有 d > 2 存在无限多组 d-正则二分Ramanujan图的猜想。
• 证明Bilu-Linial猜想的一个变体，即每个图都存在一个良好的2-提升，使得其所有非平凡特征值被 O(√d log³d) 有界。
• 确立非正则‘Ramanujan’图的无限多组存在的事实，其非平凡特征值被其通用覆盖图的谱半径有界。
• 发展并应用交错多项式方法，作为证明具有谱约束的组合对象存在的新颖存在性论证。

提出的方法

• 引入‘交错多项式族’的概念，即定义一个多项式族，使其根以受控方式交错。
• 证明在任意交错多项式族中，至少存在一个多项式，其最大根不超过这些多项式之和的最大根。
• 将该方法应用于随机带符号邻接矩阵的期望特征多项式，通过稳定性性质证明其为实根多项式。
• 证明带符号邻接矩阵的特征多项式之和等于原图的匹配多项式，而该多项式已知具有有界根。
• 利用交错性质，得出结论：至少存在一种符号分配方式，使得2-提升后的所有非平凡特征值均在Ramanujan界内。
• 通过构建涉及由边符号和度数调整导出的秩1矩阵的混合特征多项式，将该方法推广至双正则图。

实验结果

研究问题

• RQ1 对每个 d > 2，是否都存在无限多组 d-正则二分Ramanujan 图？
• RQ2 是否每个图都可以被2-提升，使得其所有非平凡特征值被 O(√d log³d) 有界，如Bilu和Linial所猜想？
• RQ3 是否存在无限多组非正则Ramanujan图，其特征值被其通用覆盖图的谱半径有界？
• RQ4 交错多项式方法能否用于证明具有最优谱性质的组合对象的存在性？
• RQ5 是否存在一个通用框架，用于证明由随机符号化或提升导出的实根多项式的存在性，即使单个多项式本身并非实根？

主要发现

• 作者证明了对所有 d > 2，均存在无限多组 d-正则二分Ramanujan 图，从而解决了Lubotzky的猜想。
• 他们建立了 (c,d)-双正则二分图的无限多组存在的事实，其中所有非平凡特征值被 √(c−1) + √(d−1) 有界，且对所有 c,d ≥ 3 成立。
• 交错多项式方法被证明在证明图的边可被符号化，使得所得2-提升的所有非平凡特征值均在Ramanujan界内方面是有效的。
• 图的邻接矩阵的随机符号化之期望特征多项式为实根多项式，且其最大根不超过匹配多项式的最大根。
• 该证明技术并未给出多项式时间算法，因为一般情况下计算匹配多项式是#P-难的。
• 该方法为系列论文第二篇中解决Kadison–Singer问题奠定了基础。