[论文解读] The local universes model: an overlooked coherence construction for dependent type theories

Peter LeFanu Lumsdaine, Michael A. Warren|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 40

一句话总结

本文提出了一种基于局部范畴模型的依赖类型理论的新一致性构造，通过分裂替换将弱稳定的理解范畴转化为严格稳定的形式。该方法实现了代换的严格函子性，并保持了依赖积、和以及同伦类型等逻辑结构，适用于如Voevodsky的单纯模型等同伦理论模型。

ABSTRACT

We present a new coherence theorem for comprehension categories, providing strict models of dependent type theory with all standard constructors, including dependent products, dependent sums, identity types, and other inductive types. Precisely, we take as input a "weak model": a comprehension category, equipped with structure corresponding to the desired logical constructions. We assume throughout that the base category is close to locally Cartesian closed: specifically, that products and certain exponentials exist. Beyond this, we require only that the logical structure should be *weakly stable* --- a pure existence statement, not involving any specific choice of structure, weaker than standard categorical Beck--Chevalley conditions, and holding in the now standard homotopy-theoretic models of type theory. Given such a comprehension category, we construct an equivalent split one, whose logical structure is strictly stable under reindexing. This yields an interpretation of type theory with the chosen constructors. The model is adapted from Voevodsky's use of universes for coherence, and at the level of fibrations is a classical construction of Giraud. It may be viewed in terms of local universes or delayed substitutions.

研究动机与目标

• 解决依赖类型理论范畴模型中的相干性问题，其中代换与逻辑结构必须在重索引下严格稳定。
• 提供一种通用构造方法，将满足最小范畴条件的弱稳定理解范畴转化为严格稳定且分裂的模型。
• 将适用范围扩展至同伦理论模型，包括Voevodsky的单纯模型，这些模型中先前的相干性结果不成立。
• 将用于相干性的类型论范畴与作为类型论范畴自身的类型论范畴相分离，实现无类型论范畴的相干性构造。
• 提供一个与现有模型兼容的范畴框架，同时确保在拉回下严格保持类型论结构。

提出的方法

• 通过局部范畴构造，从给定的理解范畴 $\mathcal{C}$ 构造一个分裂理解范畴 $\mathcal{C}_{!}$。
• 利用Giraud经典构造的纤维化版本，将局部范畴定义为在模型中内化类型范畴的一种方式。
• 通过利用分裂结构，确保逻辑结构（如依赖积、和、同伦类型等）在重索引下严格保持。
• 应用延迟代换技术以管理代换函子的一致性，确保拉回后对象的严格相等。
• 以弱稳定性条件（弱于Beck–Chevalley条件）作为输入，仅假设基范畴中存在乘积和某些指数对象。
• 验证所得到的模型满足代换的严格函子性以及所有逻辑构造在拉回下的严格保持，即使在同伦理论设定下也成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种适用于直观类型论同伦理论模型（如Voevodsky的单纯模型）的相干性构造？
• RQ2 是否可能将用于相干性的范畴与作为内部类型论范畴的范畴角色相分离？
• RQ3 理解范畴的何种最小范畴条件足以保证存在一个严格稳定的依赖类型理论模型？
• RQ4 如何系统地将弱稳定逻辑结构升级为严格稳定形式，同时保持所有标准类型构造？
• RQ5 局部范畴模型能否在不假设完整类型论范畴的前提下仍实现相干性？

主要发现

• 局部范畴模型能从任意在重索引下弱稳定的理解范畴（且具有乘积和某些指数对象）构造出严格稳定的分裂理解范畴。
• 该构造确保代换严格函子化，并且所有逻辑结构——包括依赖积、和、同伦类型以及其他归纳类型——在重索引下严格保持。
• 该方法适用于广泛的同伦理论模型，包括Voevodsky的单纯模型，此前的相干性定理（如Hofmann的）在这些模型中不适用。
• 该模型与逻辑模型范畴兼容，特别地，在所有纤维化在拉回下稳定的模型范畴中均成立。
• 该方法可推广至各种弱因子分解系统，并可应用于小范畴或逆范畴上的图范畴，同时在存在时保持无反演性。
• 该构造表明，类型范畴可纯粹用于实现相干性，而无需承担其作为内部类型论范畴的角色，从而在某些情境下实现无类型论范畴的相干性。