[论文解读] THE SIMPLICIAL MODEL OF UNIVALENT FOUNDATIONS

Krzysztof Kapulkin, Peter LeFanu Lumsdaine+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 76

一句话总结

本文使用一种新颖的基于宇宙的连贯性技术，在单纯集范畴中构建了同伦类型论的模型。它建立了弱普遍的Kan纤维化，证明了在该模型中同伦公理成立，并表明同伦类型论相对于带有两个不可达基数的ZFC是相容的。

ABSTRACT

In this paper, we construct and investigate a model of the Univalent Foundations of Mathematics in the category of simplicial sets. To this end, we rst give a new technique for constructing models of dependent type theory, using universes to obtain coherence. We then construct a (weakly) universal Kan bration, and use it to exhibit a model in simplicial sets. Lastly, we introduce the Univalence Axiom, in several equivalent formulations, and show that it holds in our model. As a corollary, we conclude that Univalent Foundations are at least as consistent as ZFC with two inaccessible cardinals.

研究动机与目标

• 开发一种使用宇宙来确保类型构造器之间连贯性的依赖类型论模型构建新技术。
• 在单纯集范畴中构造一个弱普遍的Kan纤维化。
• 证明该单纯集模型中同伦公理成立。
• 确立同伦类型论相对于带有两个不可达基数的ZFC的相容性。

提出的方法

• 引入一种基于宇宙的依赖类型论模型构建方法，确保在类型构造器之间保持连贯性。
• 在单纯集范畴中定义并构造一个弱普遍的Kan纤维化。
• 利用弱普遍的Kan纤维化在单纯集中解释类型宇宙和依赖类型。
• 在单纯集模型中以多种等价方式表述同伦公理。
• 验证该模型中所有同伦公理的表述均被满足。
• 确立同伦类型论的一致性强度不超过带有两个不可达基数的ZFC。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在单纯集中使用宇宙构造出一个连贯的依赖类型论模型？
• RQ2 在单纯集范畴中是否存在一个弱普遍的Kan纤维化？
• RQ3 在该单纯集模型中，同伦公理的多种表述是否等价？
• RQ4 同伦公理是否在所构造的单纯集类型论模型中成立？
• RQ5 同伦类型论相对于标准集合论的一致性强度如何？

主要发现

• 一种新的基于宇宙的技术使得在单纯集中对依赖类型论进行连贯建模成为可能。
• 成功地在单纯集范畴中构造出一个弱普遍的Kan纤维化。
• 同伦公理在单纯集模型中成立，证实了其在此设定下的有效性。
• 在该模型中，同伦公理的多种表述被证明是等价的。
• 确立了同伦类型论相对于带有两个不可达基数的ZFC的一致性。