[论文解读] The Lyapunov stability of first order dynamic equations with respect to time-dependent Riemannian metrics

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Jan 30, 2002

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文证明，通过选择适当的时变黎曼度量，任何流形上的光滑一阶动力方程均可实现李雅普诺夫稳定。文中引入协变李雅普诺夫张量作为李雅普诺夫矩阵的坐标无关推广，证明该张量的负定性可推出稳定性；此外，通过度量选择，任一解均可被稳定化或赋予任意期望的李雅普诺夫指数，表明光滑系统中的混沌可被时变度量完全表征。

ABSTRACT

Solutions of a smooth first order dynamic equation can be made Lyapunov stable at will by the choice of an appropriate time-dependent Riemannian metric.

研究动机与目标

• 为解决一阶动力方程中缺乏首选黎曼度量的问题，而该度量对于定义李雅普诺夫稳定性至关重要。
• 构建一个在一般坐标变换下不变的李雅普诺夫稳定性的几何框架。
• 证明对于任意光滑一阶动力方程，存在一个时变黎曼度量，使得所有解均为李雅普诺夫稳定。
• 证明通过适当的度量选择，可将解的李雅普诺夫指数设定为任意实数。

提出的方法

• 引入协变李雅普诺夫张量作为真正的张量场，推广非张量性的李雅普诺夫矩阵。
• 利用时变黎曼度量的时间导数与向量场的雅可比矩阵定义协变李雅普诺夫张量。
• 通过动力系统的变分方程，将协变李雅普诺夫张量表示为垂直切丛上的对称双线性型。
• 在初始数据纤维中使用法坐标，分析邻近解之间的距离及其时间演化。
• 通过使用正函数 h(t) 构造特定的时变度量，以控制解的李雅普诺夫指数。
• 运用管状邻域和黎曼距离函数，以几何方式分析稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过选择适当的时变黎曼度量，保证一阶动力方程解的李雅普诺夫稳定性？
• RQ2 是否存在一种几何对象，可在任意坐标变换下将李雅普诺夫矩阵推广为张量形式？
• RQ3 能否通过选择适当的时变度量，使任意光滑一阶动力方程的解均实现李雅普诺夫稳定？
• RQ4 能否通过度量设计，将任意解的李雅普诺夫指数设定为任意实数？
• RQ5 在多大程度上，光滑动力系统中的混沌可由时变黎曼度量来表征？

主要发现

• 当且仅当协变李雅普诺夫张量沿解的轨迹为负定时，该解相对于相关时变黎曼度量为李雅普诺夫稳定。
• 对于任意向量场完备的光滑一阶动力方程，均存在一个时变黎曼度量，使得所有解均为李雅普诺夫稳定。
• 通过在协变李雅普诺夫张量构造中选择与 exp(λt) 成比例的度量，可将任意解的李雅普诺夫指数设定为任意预设实数 λ。
• 当协变李雅普诺夫张量为负定时，邻近解之间黎曼距离的时间导数为负，意味着随时间分离度减小。
• 由正李雅普诺夫指数定义的光滑动力系统中的混沌，可被时变黎曼度量的选择完全表征。
• 稳定性条件在时不变坐标变换下保持不变，但在一般时变变换下不保持，凸显了度量的关键作用。