[论文解读] The minimal measurement number for low-rank matrices recovery

Zhiqiang Xu|arXiv (Cornell University)|May 27, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文利用代数几何工具解决了恢复低秩矩阵所需的最小测量数问题。证明了对于复矩阵，$4nr - 4r^2$ 个通用测量在唯一恢复秩-$r$矩阵时既必要又充分，从而证实了Eldar、Needell与Plan的猜想。对于实矩阵，本文在特定条件下证明该界是紧致的，并通过构造 $R^{4\times4}$ 秩-1矩阵的11个注入性测量，推翻了实矩阵情形下的猜想。

ABSTRACT

The paper presents several results that address a fundamental question in low-rank matrices recovery: how many measurements are needed to recover low rank matrices? We begin by investigating the complex matrices case and show that $4nr-4r^2$ generic measurements are both necessary and sufficient for the recovery of rank-$r$ matrices in $\C^{n imes n}$ by algebraic tools. Thus, we confirm a conjecture which is raised by Eldar, Needell and Plan for the complex case. We next consider the real case and prove that the bound $4nr-4r^2$ is tight provided $n=2^k+r, k\in \Z_+$. Motivated by Vinzant's work, we construct $11$ matrices in $\R^{4 imes 4}$ by computer random search and prove they define injective measurements on rank-$1$ matrices in $\R^{4 imes 4}$. This disproves the conjecture raised by Eldar, Needell and Plan for the real case. Finally, we use the results in this paper to investigate the phase retrieval by projection and show fewer than $2n-1$ orthogonal projections are possible for the recovery of $x\in \R^n$ from the norm of them.

研究动机与目标

• 确定从线性测量中唯一恢复低秩矩阵所需的最小测量数。
• 解决Eldar、Needell与Plan关于复矩阵中 $4nr - 4r^2$ 测量数最小性的猜想。
• 研究在 $n = 2^k + r$，$k \in \mathbb{Z}_+$ 时，$4nr - 4r^2$ 界在实矩阵情形下是否紧致。
• 通过构造 $R^{4\times4}$ 秩-1矩阵的显式注入性测量集，推翻实矩阵情形的猜想。
• 将结果应用于相位恢复，表明少于 $2n-1$ 个正交投影即可恢复实向量，从而否定文献[1]中的一个疑问。

提出的方法

• 利用[10]和[19]中的代数工具，分析低秩矩阵集合上测量映射的注入性。
• 运用通用性论证与代数几何，证明在复矩阵情形下，$m = 4nr - 4r^2$ 测量既充分又必要以实现注入性。
• 应用Vinzant的方法，构造11个实 $4\times4$ 矩阵，使其在 $R^{4\times4}$ 秩-1实矩阵上定义注入性测量。
• 通过计算机辅助代数计算，验证所构造的11个矩阵的测量映射具有注入性。
• 分析低秩矩阵簇的维数，并通过代数约束将其与测量数关联。
• 利用Grassmannian与秩-1矩阵流形的结构，推导最小测量数的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于复矩阵，$4nr - 4r^2$ 是否为唯一恢复秩-$r$矩阵所需的最小测量数？
• RQ2 当 $n = 2^k + r$，$k \in \mathbb{Z}_+$ 时，$4nr - 4r^2$ 界在实矩阵恢复中是否紧致？
• RQ3 对于复秩-1矩阵，少于 $4n - 4$ 个测量能否实现注入性恢复？
• RQ4 是否存在一组11个实 $4\times4$ 矩阵，能在 $R^{4\times4}$ 秩-1矩阵上定义注入性测量，从而反驳[11]中的猜想？
• RQ5 能否通过少于 $2n - 1$ 个正交投影，从其投影范数中恢复实向量 $x \in \bR^n$？

主要发现

• 对于复矩阵，$4nr - 4r^2$ 个通用测量在唯一恢复秩-$r$矩阵时既必要又充分，证实了[11]中的猜想。
• 在实矩阵情形下，当 $n = 2^k + r$ 且 $k \in \mathbb{Z}_+$ 时，$4nr - 4r^2$ 界是紧致的，从而在这些条件下确立了该界的最小性。
• 本文构造了11个实 $4\times4$ 矩阵，其在 $R^{4\times4}$ 秩-1矩阵上定义了注入性测量映射，从而推翻了[11]中关于实矩阵情形的猜想。
• 通过代数计算显式验证了这11个矩阵的测量映射具有注入性，表明在 $R^{4\times4}$ 中 $m = 11 < 4n - 4 = 12$ 已足够。
• 结果表明，少于 $2n - 1$ 个正交投影即可从其投影范数中恢复实向量 $x \in \bR^n$，从而否定文献[1]中的一个疑问。
• 对于 $n = 4$，$R^n$ 中相位恢复的最小测量数严格小于 $2n - 1$，与普遍认为 $2n - 1$ 为最小值的观念相矛盾。