[论文解读] The Modified q-Euler numbers and polynomials

T. Kim|ArXiv.org|Feb 18, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用 78

一句话总结

本文通过 $p$-adic $q$-积分表示引入了一类新的修正 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,q}$，其定义为 $\mathcal{E}_{0,q} = \frac{[2]_q}{2}$，且当 $n=0$ 时满足 $(q\mathcal{E} + 1)^n + \mathcal{E}_{n,q} = [2]_q$，否则为 0。主要贡献在于构造了一个 $q$-zeta 函数 $\zeta_q(s,x)$，该函数在负整数处插值这些数，满足 $\zeta_q(-n,x) = \mathcal{E}_{n,q}(x)$，并推导出与狄利克雷特征相关的广义 $q$-Euler 数的显式级数表示和函数方程。

ABSTRACT

In the recent paper the interesting q-Euler numbers and polynomials introduced in JMAA. The purpose of this paper is to construct the modified q-Euler numbers and polynomiasl. Finally we will give the interesting many identities related to these numbers and polynomials.

研究动机与目标

• 定义一类新的 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,q}$，使其推广经典 Euler 数，并在 $q \to 1$ 时退化为经典 Euler 数。
• 利用不变的 $q$-测度 $\mu_{-q}$，建立这些数的 $p$-adic $q$-积分表示。
• 构造一个 $q$-zeta 函数 $\zeta_q(s,x)$，使其在负整数处插值 $\mathcal{E}_{n,q}(x)$。
• 推导与狄利克雷特征 $\chi$ 相关的广义 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$ 的显式级数表示和函数方程。

提出的方法

• 通过 $p$-adic $q$-积分 $\int_{\mathbb{Z}_p} [x]_q^n d\mu_{-q}(x)$ 定义生成函数 $F_q(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{E}_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!}$，从而定义 $\mathcal{E}_{n,q}$。
• 利用恒等式 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty (-1)^k [k+x]_q^n$，将修正的 $q$-Euler 数表示为 $q$-整数的无穷交错和。
• 构造 $q$-zeta 函数 $\zeta_q(s,x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{[k+x]_q^s}$，其在 $s = -n$ 处满足 $\zeta_q(-n,x) = \mathcal{E}_{n,q}(x)$。
• 推导函数方程 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [d]_q^n \frac{[2]_q}{[2]_{q^d}} \sum_{a=0}^{d-1} (-1)^a \mathcal{E}_{n,q^d}\left(\frac{x+a}{d}\right)$（$d$ 为奇数），通过缩放推广这些数。
• 通过狄利克雷特征 $\chi$（奇导子 $d$）将框架扩展至广义 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$，其中 $\mathcal{E}_{n,\chi,q} = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \chi(n)(-1)^n [n]_q^n$。
• 定义 $L$-函数 $l_q(s,\chi) = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)(-1)^n}{[n]_q^s}$，满足 $l_q(-n,\chi) = \mathcal{E}_{n,\chi,q}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一类新的 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,q}$，使其推广经典 Euler 数，且在 $q=1$ 处保持有限？
• RQ2 $\mathcal{E}_{n,q}$ 的 $p$-adic 积分表示是什么？它与不变 $q$-测度 $\mu_{-q}$ 的关系如何？
• RQ3 能否构造一个 $q$-zeta 函数，使其在负整数处插值 $\mathcal{E}_{n,q}(x)$？其函数形式如何？
• RQ4 与狄利克雷特征 $\chi$ 相关的广义 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$ 的行为如何？其级数表示是什么？
• RQ5 $L$-函数 $l_q(s,\chi)$ 与广义 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$ 之间有何关系？它如何扩展经典插值性质？

主要发现

• 修正的 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,q}$ 定义为 $\mathcal{E}_{0,q} = \frac{[2]_q}{2}$，且当 $n=0$ 时满足 $(q\mathcal{E} + 1)^n + \mathcal{E}_{n,q} = [2]_q$，否则为 0，且满足 $\lim_{q \to 1} \mathcal{E}_{n,q} = E_n$。
• $\mathcal{E}_{n,q}(x)$ 的生成函数为 $F_q(t,x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty (-1)^k e^{[k+x]_q t}$，由此导出显式公式 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty (-1)^k [k+x]_q^n$。
• $q$-zeta 函数 $\zeta_q(s,x) = [2]_q \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{[k+x]_q^s}$ 满足对所有 $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ 有 $\zeta_q(-n,x) = \mathcal{E}_{n,q}(x)$，从而在负整数处实现插值。
• 当 $d$ 为奇数时，函数方程 $\mathcal{E}_{n,q}(x) = [d]_q^n \frac{[2]_q}{[2]_{q^d}} \sum_{a=0}^{d-1} (-1)^a \mathcal{E}_{n,q^d}\left(\frac{x+a}{d}\right)$ 成立，通过缩放推广这些数。
• 广义 $q$-Euler 数 $\mathcal{E}_{n,\chi,q}$ 由 $\mathcal{E}_{n,\chi,q} = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \chi(n)(-1)^n [n]_q^n$ 给出，将框架扩展至狄利克雷特征。
• $L$-函数 $l_q(s,\chi) = [2]_q \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)(-1)^n}{[n]_q^s}$ 满足 $l_q(-n,\chi) = \mathcal{E}_{n,\chi,q}$，从而确立了经典插值性质的 $q$-类比。