[论文解读] $q$-Bernoulli Numbers and Polynomials Associated with Multiple $q$-Zeta Functions and Basic $L$-series

T. Kim, Yılmaz Şimşek+1 more|ArXiv.org|Feb 1, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 33被引用 173

一句话总结

该论文利用 $q$-Volkenborn 积分和 $\mathbb{Z}_p$ 上的一致可微性，构建了 $p$-进 $q$-zeta 函数，使其插值 $q$-Bernoulli 数与多项式。论文实现了基本 $L$-级数的解析延拓，并显式计算了其在负整数处的取值，通过 Mellin 变换和生成函数将它们与 Barnes 型 $q$-zeta 函数及 Dirichlet $L$-函数联系起来。

ABSTRACT

By using $q$-Volkenborn integration and uniform differentiable on $\mathbb{Z}%_{p}$, we construct $p$-adic $q$-zeta functions. These functions interpolate the $q$-Bernoulli numbers and polynomials. The value of $p$-adic $q$-zeta functions at negative integers are given explicitly. We also define new generating functions of $q$-Bernoulli numbers and polynomials. By using these functions, we prove analytic continuation of some basic (or $q$-) $L$% -series. These generating functions also interpolate Barnes' type Changhee $% q $-Bernoulli numbers with attached to Dirichlet character as well. By applying Mellin transformation, we obtain relations between Barnes' type $q$% -zeta function and new Barnes' type Changhee $q$-Bernolli numbers. Furthermore, we construct the Dirichlet type Changhee (or $q$-) $L$% -functions.

研究动机与目标

• 通过 $q$-Volkenborn 积分，构建插值 $q$-Bernoulli 数与多项式的 $p$-进 $q$-zeta 函数。
• 利用 $q$-Bernoulli 数的新生成函数，实现基本（或 $q$-）$L$-级数的解析延拓。
• 通过 Mellin 变换，建立 Barnes 型 $q$-zeta 函数与带 Dirichlet 特征的广义 $q$-Bernoulli 数之间的关系。
• 定义与 Changhee $q$-Bernoulli 数及 Dirichlet 特征相关的 Dirichlet 型 $L$-函数。
• 通过 $p$-进测度与 $p$-进积分技术，将经典 zeta 与 $L$-函数理论推广至 $q$-类比。

提出的方法

• 在 $\mathbb{Z}_p$ 上使用 $q$-Volkenborn 积分，定义插值 $q$-Bernoulli 数的 $p$-进 $q$-zeta 函数。
• 在 $\mathbb{Z}_p$ 上应用一致可微性，以确保所构造的 $p$-进 $q$-zeta 函数的收敛性与解析性。
• 引入 $q$-Bernoulli 数与多项式的新型生成函数，以实现基本 $L$-级数的解析延拓。
• 应用 Mellin 变换，将 Barnes 型 $q$-zeta 函数与带 Dirichlet 特征的广义 $q$-Bernoulli 数联系起来。
• 通过 $p^N$-进展开的和的极限，定义 $p$-进测度（如 Frobenius-Barnes 型），确保其有界性与测度性质。
• 通过在 $q$-测度上对特征函数进行 $p$-进积分，推导出 $p$-进 $L$-函数的积分表示，从而得到 $L$-级数表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造插值 $q$-Bernoulli 数与多项式的 $p$-进 $q$-zeta 函数？
• RQ2 基本 $q$-L-级数的解析延拓是什么？如何通过新生成函数实现？
• RQ3 Barnes 型 $q$-zeta 函数与带 Dirichlet 特征的广义 $q$-Bernoulli 数之间有何关系？
• RQ4 Mellin 变换如何将 $p$-进 $q$-zeta 函数与 $L$-级数及负整数处的特殊值联系起来？
• RQ5 能否为 Frobenius-Euler 与 Barnes 型数的 $q$-类比定义 $p$-进测度？它们与 $L$-函数有何关联？

主要发现

• $p$-进 $q$-zeta 函数插值 $q$-Bernoulli 数，并通过关系式 $\zeta_r(-n,w,u\mid w_1,\dots,w_r) = \frac{u^r}{(u-1)^r} H_n^{(r)}(u,w\mid w_1,\dots,w_r)$ 显式计算其在负整数处的取值。
• 生成函数 $F_{u,q}^{(r)}(t,x\mid w_1,\dots,w_r)$ 实现了多重 $q$-zeta 函数的解析延拓，并将其与 $H_n^{(r)}(u,x\mid w_1,\dots,w_r)$ 联系起来。
• 通过在 $q$-测度上对 Dirichlet 特征进行 $p$-进积分，构造了 Dirichlet 型 $L$-函数，得到系数为 $H_{n,\chi}^{(r)}(u\mid w_1,\dots,w_r)$ 的 $L$-级数。
• $p$-进测度 $E_{u,w_1}^{(k)}$ 在 $|1-u|_p \geq 1$ 时有定义且有界，确保了积分的收敛性与 $p$-进 $L$-函数表示的有效性。
• 对生成函数进行 Mellin 变换，得到 $\zeta_r(s,w,u\mid w_1,\dots,w_r) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{s-1-r} \frac{1}{(1-u)^r} F_{u,q}^{(r)}(-t,w\mid w_1,\dots,w_r) dt$，从而实现了解析延拓。
• 关系式 $\int_{\mathbb{Z}_p} \chi(x) dE_{u,w_1}^{(k)}(x) = \frac{1}{1-u^f} H_{k,\chi}^{(1)}(u\mid w_1)$ 建立了 $p$-进 $L$-函数与带特征的广义 $q$-Bernoulli 数之间的直接联系。