[论文解读] The monotonicity rules for the ratio of two Laplace transforms with applications

Zhen-Hang Yang, Jing-Feng Tian|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2018

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文建立了两个拉普拉斯变换之比的单调性规则：若其核函数之比 $ f/g $ 先增后减（或反之），则其拉普拉斯变换之比 $ F/G $ 为递减（或单峰），具体取决于 $ H_{F,G}(0^+) $ 的符号，后者是涉及导数的极限。关键贡献是提出了一个用于判断拉普拉斯变换之比单调性的准则，并将其应用于推导psi函数的新界以及第二类修正贝塞尔函数的性质。

ABSTRACT

Let $f$ and $g$ be both continuous functions on $\left( 0,\infty ight) $ with $g\left( t ight) >0$ for $t\in \left( 0,\infty ight) $ and let $ F\left( x ight) =\mathcal{L}\left( f ight) $, $G\left( x ight) =\mathcal{L }\left( g ight) $ be respectively the Laplace transforms of $f$ and $g$ converging for $x>0$. We prove that if there is a $t^{\ast }\in \left( 0,\infty ight) $ such that $f/g$ is strictly increasing on $\left( 0,t^{\ast } ight) $ and strictly decreasing on $\left( t^{\ast },\infty ight) $, then the ratio $F/G$ is decreasing on $\left( 0,\infty ight) $ if and only if \begin{equation*} H_{F,G}\left( 0^{+} ight) =\lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( \frac{F^{\prime }\left( x ight) }{G^{\prime }\left( x ight) }G\left( x ight) -F\left( x ight) ight) \geq 0, \end{equation*} with \begin{equation*} \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{F\left( x ight) }{G\left( x ight) } =\lim_{t ightarrow \infty }\frac{f\left( t ight) }{g\left( t ight) } ext{ \ and \ }\lim_{x ightarrow \infty }\frac{F\left( x ight) }{G\left( x ight) }=\lim_{t ightarrow 0^{+}}\frac{f\left( t ight) }{g\left( t ight) } \end{equation*} provide the indicated limits exist. While $H_{F,G}\left( 0^{+} ight) <0$, there is at leas one $x^{\ast }>0$ such that $F/G$ is increasing on $\left( 0,x^{\ast } ight) $ and decreasing on $\left( x^{\ast },\infty ight) $. As applications of this monotonicity rule, a unified treatment for certain bounds of psi function is presented, and some properties of the modified Bessel functions of the second are established. These show that the monotonicity rules in this paper may contribute to study for certain special functions because many special functions can be expressed as corresponding Laplace transforms.

研究动机与目标

• 建立当两个拉普拉斯变换的核函数之比呈单峰模式（先增后减）时，其拉普拉斯变换之比的单调性规则。
• 基于极限 $ H_{F,G}(0^+) $ 提供一个判据，以确定拉普拉斯变换之比 $ F/G $ 是递减还是单峰。
• 将单调性规则应用于推导特殊函数（尤其是psi函数和第二类修正贝塞尔函数）的新不等式与界。
• 通过利用特殊函数的积分表示为拉普拉斯变换，统一并拓展现有关于特殊函数的研究结果。

提出的方法

• 定义 $ F(x) = \mathcal{L}(f) $，$ G(x) = \mathcal{L}(g) $ 为在 $ (0,\infty) $ 上连续且正的 $ g $ 和 $ f $ 的拉普拉斯变换。
• 引入辅助函数 $ H_{F,G}(x) = \frac{F'(x)}{G'(x)}G(x) - F(x) $，并分析其在 $ x \to 0^+ $ 时的极限。
• 证明在 $ f/g $ 呈单峰的条件下，$ F/G $ 在 $ (0,\infty) $ 上递减当且仅当 $ \lim_{x \to 0^+} H_{F,G}(x) \geq 0 $。
• 利用 $ F/G $ 的渐近行为：$ \lim_{x \to 0^+} F/G = \lim_{t \to \infty} f(t)/g(t) $，且 $ \lim_{x \to \infty} F/G = \lim_{t \to 0^+} f(t)/g(t) $。
• 将单调性规则应用于特殊函数的积分表示，如psi函数和第二类修正贝塞尔函数。
• 利用递推关系和单调性准则，推导出类图拉潘（Turán-type）不等式及 $ xK_v'(x)/K_v(x) $ 的改进界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两个拉普拉斯变换之比 $ F/G $ 的核函数之比 $ f/g $ 呈单峰时，其在何种条件下是递减的？
• RQ2 $ H_{F,G}(0^+) $ 的符号如何决定 $ F/G $ 的单调性行为？
• RQ3 该单调性规则是否可用于推导psi函数和第二类修正贝塞尔函数的新界？
• RQ4 该规则对以拉普拉斯变换形式表示的特殊函数研究有何影响？

主要发现

• 在 $ f/g $ 先增后减的条件下，$ F/G $ 在 $ (0,\infty) $ 上递减当且仅当 $ \lim_{x \to 0^+} H_{F,G}(x) \geq 0 $。
• 若 $ H_{F,G}(0^+) < 0 $，则 $ F/G $ 为单峰：在 $ (0,x^*) $ 上递增，在 $ (x^*,\infty) $ 上递减，其中 $ x^* > 0 $。
• 该规则导出了一个新的类图拉潘不等式：当 $ |v| > 1/2 $ 时，有 $ \frac{K_{v-1}(x)K_{v+1}(x)}{K_v(x)^2} < 1 + \frac{1}{x} $，而当 $ |v| < 1/2 $ 时不等号方向相反。
• 建立了改进的双重不等式：对所有 $ x > 0 $，有 $ -\sqrt{x^2 + x + \max(|v|,1/2)^2} < \frac{xK_v'(x)}{K_v(x)} < -\sqrt{x^2 + x + \min(|v|,1/2)^2} $。
• 对 $ |v| > 1/2 $，$ -\sqrt{x^2 + x + v^2} $ 作为 $ xK_v'(x)/K_v(x) $ 的界比已知界更紧。
• 该方法为推导特殊函数的性质提供了一种统一的方法，因为许多此类函数均可表示为已知核函数的拉普拉斯变换。