[论文解读] The most visited sites of biased random walks on trees

Yueyun Hu, Zhan Shi|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文研究在超临界Galton–Watson树上，偏向随机游走的最常访问站点在退火测度下的行为。研究证明了最常访问站点分布的紧致性，表明它们集中在与随机势函数相关的最小化点附近，从而提供了首个非平凡的零次遍历随机游走例子，其最常访问站点并非瞬时的——解决了Erdös与Revesz针对一维对称随机游走提出的问题。

ABSTRACT

We consider the slow movement of randomly biased random walk $(X_n)$ on a supercritical Galton--Watson tree, and are interested in the sites on the tree that are most visited by the biased random walk. Our main result implies tightness of the distributions of the most visited sites under the annealed measure. This is in contrast with the one-dimensional case, and provides, to the best of our knowledge, the first non-trivial example of null recurrent random walk whose most visited sites are not transient, a question originally raised by Erdős and Révész [11] for simple symmetric random walk on the line.

研究动机与目标

• 分析在超临界Galton–Watson树上偏向随机游走的最常访问站点的长期行为。
• 解决Erdös与Revesz最初针对一维直线上对称随机游走提出的问题：零次遍历随机游走的最常访问站点是否可以是非瞬时的。
• 在退火测度下，建立最常访问站点分布的紧致性。
• 以与偏向游走相关的随机势函数为基础，刻画最常访问站点的极限位置。
• 证明在退火测度下，最常访问站点几乎必然依分布收敛于势函数的最小化点。

提出的方法

• 使用过渡权重 $\omega(x,y)$ 建模Galton–Watson树上的偏向随机游走，其中权重在各顶点上独立同分布。
• 通过从根出发沿路径的过渡概率对数比值，定义随机势 $V(x)$，将环境与分支随机游走结构联系起来。
• 使用退火测度 $\mathbb{P}$，对随机环境 $\omega$ 和游走路径同时积分，以分析典型行为。
• 建立渐近标度：$|X_n| / (\log n)^2 \to X_\infty$ 依分布成立，且 $\max_{i\leq n} |X_i| / (\log n)^3 \to c_1$ 几乎必然成立，表明游走具有缓慢的递归性。
• 分析局部时 $L_n(x)$ 和最常访问站点 $\mathscr{A}_n$（即在时间 $n$ 之前达到最大局部时的顶点集合），并将其位置与势函数 $U(x)$ 关联。
• 证明在退火测度下，最常访问站点 $x_n$ 满足 $U(x_n) \to \inf_{x\in\mathbb{T}} U(x)$ 依概率成立，意味着其收敛于 $U$ 的最小化点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在退火测度下，Galton–Watson树上零次遍历偏向随机游走的最常访问站点是瞬时的还是常返的？
• RQ2 零次遍历随机游走的最常访问站点是否可能集中在有界区域内，而非如一维对称情形那样逃向无穷远？
• RQ3 最常访问站点的极限分布如何以随机势函数 $U(x)$ 表示？
• RQ4 最常访问站点的退火分布是否具有紧致性？若是，其极限位置由什么决定？
• RQ5 随机势 $U(x)$ 如何控制树中顶点最常访问位置的渐近局域化？

主要发现

• 在退火测度下，最常访问站点的分布具有紧致性，意味着其在分布意义下不会逃向无穷远。
• 最常访问站点几乎必然依分布收敛于势函数 $U(x)$ 的最小化点集合 $\mathscr{U}_{\min}$，即当 $n \to \infty$ 时，$\mathbb{P}^*(x_n \in \mathscr{U}_{\min}) \to 1$。
• 某顶点 $x$ 处的渐近局部时满足 $L_n(x) \sim \frac{n}{\log n} \cdot \frac{\sigma^2}{4D_\infty} e^{-U(x)}$，其中 $U(x)$ 决定了访问频率的相对大小。
• 游走位置的渐近增长为 $|X_n| \sim (\log n)^2 X_\infty$ 依分布成立，且时间 $n$ 内的最大位移渐近为 $c_1 (\log n)^3$ 几乎必然成立。
• 由随机环境导出的势函数 $U(x)$ 控制了最常访问站点的局域化，且 $x_n$ 收敛于最小化 $U(x)$ 的顶点。
• 该结果提供了首个非平凡的零次遍历随机游走例子，其最常访问站点并非瞬时，从而解决了Erdös与Revesz长期悬而未决的开放问题。