[论文解读] The noncommutative geometry of elliptic difference equations

Eric M. Rains|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 57被引用 5

一句话总结

本文通过椭圆差分算子引入了一种新的非交换几何构造方法，用于有理曲面，实现了具有光滑反canonical曲线的射影有理曲面的1参数形变。该方法建立了这些非交换曲面上层与椭圆差分方程之间的对应关系，证明了层的模空间是泊松的且射影的，并通过导出自同构和广义超几何积分构造了椭圆Painlevé方程的Lax对。

ABSTRACT

We give a new construction of noncommutative surfaces via elliptic difference operators, attaching a 1-parameter noncommutative deformation to any projective rational surface with smooth anticanonical curve. The construction agrees with one implicit in work of Van den Bergh (iterated blowups of noncommutative Hirzebruch surfaces), but the construction enables one to prove a number of new facts about these surfaces. We show that they are noncommutative smooth proper surfaces in the sense of Chan and Nyman, with projective Quot schemes, that moduli spaces of simple sheaves are Poisson and that moduli spaces classifying semistable sheaves of rank 0 or 1 are projective. We further show that the action of SL_2(Z) as derived autoequivalences of rational elliptic surfaces extends to an action as derived equivalences of surfaces in our family with K^2=0. We also discuss applications to the theory of special functions arising by interpreting moduli spaces of 1-dimensional sheaves as moduli spaces of difference equations. When the moduli space is a single point, the equation is rigid, and we give an integral representation for the solutions. More generally, twisting by line bundles corresponds to isomonodromy deformations, so this gives rise to Lax pairs. When the moduli space is 2-dimensional, one obtains Lax pairs for the elliptic Painlevé equation; this associates a Lax pair to any rational number, of order twice the denominator. There is also an elliptic analogue of the Riemann-Hilbert correspondence: an analytic equivalence between categories of elliptic difference equations, swapping the role of the shift of the equation and the nome of the curve.

研究动机与目标

• 通过椭圆差分算子构造具有光滑反canonical曲线的射影有理曲面的1参数非交换形变。
• 建立非交换曲面上层与椭圆差分方程之间的对应关系，从而为方程的模空间提供新见解。
• 证明这些非交换曲面在Chan与Nyman的意义下是光滑且完备的，其Quot概形是射影的，模空间是泊松的。
• 将有理椭圆曲面上SL2(Z)作用于导出范畴的自同构推广至K2 = 0的曲面。
• 发展一个椭圆黎曼-希尔伯特对应的类比，通过交换差分方程中的平移参数与椭圆曲线的模量参数，建立层与椭圆差分方程之间的关系。

提出的方法

• 通过椭圆差分算子构造非交换有理曲面，将线丛之间的态射解释为差分算子。
• 利用非交换Hirzebruch曲面的 blows up 实现形变，且该构造与Van den Bergh的隐式构造相容。
• 通过双次数多项式空间与基点条件分析这些曲面上的挠模与层，以证明复合映射的满射性。
• 应用上同调对偶与导出范畴技术研究层的模空间，特别关注秩为0或1的层。
• 通过将2维模空间视为差分方程的参数空间，构造椭圆Painlevé方程的Lax对。
• 通过将非交换曲面上的层与椭圆差分方程的解相关联，发展椭圆黎曼-希尔伯特对应，其中平移参数与模量参数之间存在对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从椭圆差分算子构造非交换有理曲面？
• RQ2 由此产生的非交换曲面的几何与上同调性质是什么，特别是关于光滑性、完备性以及模空间的性质？
• RQ3 能否将有理椭圆曲面上SL2(Z)作用于导出范畴的导出自同构推广至K2 = 0的非交换曲面？
• RQ4 这些曲面上层的模空间与可积系统（特别是椭圆Painlevé方程）有何关系？
• RQ5 是否存在一个椭圆类比的黎曼-希尔伯特对应，其作用是交换差分方程中的平移参数与椭圆曲线的模量参数？

主要发现

• 所构造的非交换曲面在Chan与Nyman的意义下是光滑且完备的，其Quot概形是射影的。
• 这些曲面上简单层的模空间是泊松簇，而秩为0或1的半稳定层的模空间是射影的。
• 当层的模空间为2维时，它自然给出椭圆Painlevé方程的Lax对，其阶数为有理参数分母的两倍。
• 对于刚性差分方程（模空间为单点），解可构造为广义超几何积分。
• 通过线丛的扭变诱导了等单性德罗德罗姆形变，自然导出可积系统的Lax对。
• 建立了椭圆黎曼-希尔伯特对应，提供了层范畴与椭圆差分方程之间的解析等价关系，其中平移参数与椭圆曲线的模量之间存在对偶性。