[论文解读] The Orbifold Topological Vertex

Jim Bryan, Charles Cadman+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文引入了轨道丛拓扑顶点，即一个用于计算卡拉比-丘轨道丛的唐纳森-托马斯不变量的生成函数，其计算的是以有限阿贝尔群 G 的表示着色的三维分拆。对于 G = ℤₙ 且具有横截 Aₙ₋₁ 奇点的情形，该文给出了以舒尔函数表示的显式公式，使得 DT 分区函数得以计算，并支持了轨道丛几何中的创痕解析化与 DT/GW 对应猜想。

ABSTRACT

We define Donaldson-Thomas invariants of Calabi-Yau orbifolds and we develop a topological vertex formalism for computing them. The basic combinatorial object is the orbifold vertex, a generating function for the number of 3D partitions asymptotic to three given 2D partitions and colored by representations of a finite Abelian group G acting on C^3. In the case where G=Z_n acting on C^3 with transverse A_{n-1} quotient singularities, we give an explicit formula for the vertex in terms of Schur functions. We discuss applications of our formalism to the Donaldson-Thomas Crepant Resolution Conjecture and to the orbifold Donaldson-Thomas/Gromov-Witten correspondence. We also explicitly compute the Donaldson-Thomas partition function for some simple orbifold geometries: the local football and the local BZ_2 gerbe.

研究动机与目标

• 开发一种用于计算轨道丛卡拉比-丘三倍体的唐纳森-托马斯不变量的拓扑顶点形式化方法。
• 将轨道丛顶点 $\mathsf{V}^{G}_{\lambda\mu\nu}$ 定义为以 G-表示着色、渐近于二维分拆 $\lambda,\mu,\nu$ 的三维分拆的生成函数。
• 在 G=\mathbb{Z}_n 且具有横截 A_{n-1} 奇点的情形下，为 $\mathsf{V}^{G}_{\lambda\mu\nu}$ 建立闭式公式。
• 将该形式化方法应用于轨道丛 DT 创痕解析化猜想与轨道丛 DT/GW 对应猜想。
• 计算特定几何结构（包括局部足球 $\mathbb{P}^1_{a,b}$ 和局部 $B\mathbb{Z}_2$ 丛）的显式分区函数。

提出的方法

• 将轨道丛顶点 $\mathsf{V}^{G}_{\lambda\mu\nu}$ 定义为有限阿贝尔群 $G$ 在 $\mathbb{C}^3$ 上作用（行列式为平凡）的不可约表示着色的三维分拆的生成函数。
• 该形式化方法使用三价网页图来编码轨道丛 торิก 卡拉比-丘三倍体的几何结构，顶点标记为稳定子群，边标记为线丛度数。
• 在横截 $A_{n-1}$ 情形下，通过顶点算符技术和 $n$-商分解，将顶点表示为舒尔函数的乘积。
• 边贡献 $\mathsf{E}(e)$ 由法丛数据决定，并沿边分配分拆。
• 完整 DT 分区函数通过边赋值的求和计算，顶点项 $\widehat{\mathsf{V}}^{G}_{\lambda\mu\nu}(v)$ 根据局部群和分拆数据进行符号修正。
• 利用符号公式和反向算符技术，将顶点与其对偶关联，从而通过对称函数理论实现显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拓扑顶点形式化推广，以计算卡拉比-丘轨道丛的唐纳森-托马斯不变量？
• RQ2 当 $G=\mathbb{Z}_n$ 作用于 $\mathbb{C}^3$ 且具有横截 $A_{n-1}$ 奇点时，轨道丛顶点 $\mathsf{V}^{G}_{\lambda\mu\nu}$ 的显式形式是什么？
• RQ3 轨道丛 DT 分区函数与奇异空间 $X$ 的创痕解析化 $Y$ 的 DT 分区函数之间有何关系？
• RQ4 在轨道丛设定下，DT/GW 对应关系在何种程度上成立，特别是满足硬 Lefschetz 条件时？
• RQ5 特定轨道丛几何结构（如局部足球和 $B\mathbb{Z}_2$ 丛）的 DT 分区函数具有何种结构？

主要发现

• 当 $G=\mathbb{Z}_n$ 作用于 $\mathbb{C}^3$ 且权重为 $(1,-1,0)$ 时，推导出轨道丛顶点 $\mathsf{V}^{G}_{\lambda\mu\nu}$ 的显式公式，对应于横截 $A_{n-1}$ 奇点，其以舒尔函数表示。
• 轨道丛 toric 卡拉比-丘三倍体的 DT 分区函数被计算为网页图中顶点与边的乘积，顶点项由轨道丛顶点给出，边项由线丛数据决定。
• 对于局部足球 $\mathbb{P}^1_{a,b}$，轨道丛顶点形式化给出了以舒尔函数和表示数据表示的 DT 分区函数的闭合表达式。
• 局部 $B\mathbb{Z}_2$ 丛的 DT 分区函数可通过轨道丛顶点计算，其线丛类型由整数 $(a_0, a_\infty, m)$ 决定，度数公式涉及边向量的楔积。
• 本文证明，在硬 Lefschetz 条件下，经变量替换与解析延拓后，(重归一化) DT、GW 与创痕解析化分区函数相等，支持了轨道丛 DT/GW 与创痕解析化猜想。
• 符号公式与反向算符技术得到严格确立，使得可通过对称函数理论与 $n$-商分解推导出舒尔函数公式。