[论文解读] The Riemannian Hebbarkeitssätze for pseudorigid spaces

João Lourenço|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文在混合特征下，为完备离散赋值环 $\mathcal{O}_K$ 上的伪紧致空间建立了黎曼的可去奇点定理，证明了当 $\operatorname{codim}_X Z \geq 1$（第一部分定理）或 $\geq 2$（第二部分定理）时，定义在闭子集 $Z$ 的补集上的局部有界或全纯函数可唯一延拓至整个空间。这些结果将复分析与刚性几何中的经典定理推广至混合特征的 adic 空间，并给出了德容关于 $\mathcal{O}_K$-平坦正规形式概形全局截面定理的新证明。

ABSTRACT

We prove Riemann's theorems on extensions of functions over certain mixed characteristic analytic adic spaces, first introduced by Johansson and Newton. We use these results to reprove a theorem of de Jong identifying global sections of an $\mathcal{O}_K$-flat normal formal scheme, locally formally of finite type over $\mathcal{O}_K$, with locally powerbounded sections over the generic fibre.

研究动机与目标

• 将经典黎曼可去奇点定理——关于全纯函数与有界函数的可去奇点——推广至混合特征下的伪紧致空间设置。
• 证明在正规伪紧致空间 $X$ 中，若闭子集 $Z$ 满足 $\operatorname{codim}_X Z \geq 1$ 或 $\geq 2$，则 $X\setminus Z$ 上的局部有界或全纯函数可唯一延拓至整个空间 $X$。
• 为德容定理提供新证明：将 $\mathcal{O}_K$-平坦正规形式概形的全局截面与它们的通用纤维上的局部有界截面相等识别。
• 发展 Jacobson adic 空间与伪紧致几何的基础工具，包括 Noether 归一化引理与全纯转移引理，以处理混合特征情形。

提出的方法

• 将问题约化至 $\mathcal{O}_K$-平坦正规伪仿射概域 $A$ 的情形，其中 $X = \operatorname{Spa}(A)$，且 $Z$ 位于特殊纤维中。
• 在基本伪仿射概域 $D_n\langle X_1,\dots,X_r\rangle$ 上直接验证可去奇点定理，使用范数理论计算。
• 将 Noether 的归一化引理适配，构造从 $D_n\langle X_1,\dots,X_r\rangle$ 到 $A\langle \pi/T^n \rangle$ 的有限单射，当 $n$ 足够大且满足适当的有限性与平坦性条件时成立。
• 发展全纯与有界函数的转移引理，作为 L{"u}tkebohmert 的 Hilfssatz 1.7 的类比，以实现跨奇点的函数延拓。
• 利用 Zariski 主定理与形式函数定理，将全局截面问题约化至定义理想为主理想的情形。
• 应用第一与第二可去奇点定理，证明当余维数条件满足时，限制映射 $\mathcal{O}_X^+(X) \to \mathcal{O}_X^+(X\setminus Z)$ 与 $\mathcal{O}_X(X) \to \mathcal{O}_X(X\setminus Z)$ 是同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼关于可去奇点的经典定理能否推广至混合特征的解析 adic 空间，特别是 $\mathcal{O}_K$ 上的伪紧致空间？
• RQ2 在闭子集 $Z$ 的余维数满足何种条件时，$X\setminus Z$ 上的局部有界或全纯函数可唯一延拓至整个正规伪紧致空间 $X$？
• RQ3 能否在不依赖于混合特征中无类比物的刚性空间结果的前提下，在伪紧致设置中证明第一与第二可去奇点定理？
• RQ4 当 $\operatorname{codim}_X Z \geq 1$（对应 $\mathcal{O}_X^+$）或 $\geq 2$（对应 $\mathcal{O}_X$）时，从 $\mathcal{O}_X^+$（相应地 $\mathcal{O}_X$）的全局截面到 $X\setminus Z$ 上截面的限制映射是否成为同构？
• RQ5 这些延拓定理能否用于重新证明德容关于 $\mathcal{O}_K$-平坦正规形式概形的全局截面与它们在通用纤维上局部有界截面相等的定理？

主要发现

• 第一可去奇点定理成立：若 $\operatorname{codim}_X Z \geq 1$，则 $\mathcal{O}_X^+(X) \to \mathcal{O}_X^+(X\setminus Z)$ 是同构，因此 $X\setminus Z$ 上的每个局部有界函数均可唯一延拓至 $X$。
• 第二可去奇点定理成立：若 $\operatorname{codim}_X Z \geq 2$，则 $\mathcal{O}_X(X) \to \mathcal{O}_X(X\setminus Z)$ 是同构，因此 $X\setminus Z$ 上的每个函数均可唯一延拓至 $X$。
• 为德容定理给出了新证明：对任意关于 $\mathcal{O}_K$-平坦且局部有限型的正规形式概形 $\mathfrak{X}$，其全局截面 $\mathcal{O}_\mathfrak{X}(\mathfrak{X})$ 同构于其解析局部 $\mathfrak{X}_a$ 上的局部有界截面，即 $\mathcal{O}_\mathfrak{X}(\mathfrak{X}) \cong \mathcal{O}_\mathfrak{X}^+(\mathfrak{X}_a)$。
• 为 $\mathcal{O}_K$-平坦伪仿射概域建立了 Noether 归一化引理，使得 $k((T))$-仿射映射可有限提升至大 $n$ 时的 $D_n$ 上的伪仿射概域，这对延拓论证至关重要。
• 在剩余域 $k$ 代数闭的条件下，函子 $\mathfrak{X} \mapsto (\mathfrak{X}_a, \mathfrak{X}_{\text{red}}, \operatorname{sp}_\mathfrak{X})$ 从 $\mathcal{O}_K$-平坦正规形式概形（局部有限型）的范畴到三元组 $(X,Y,p)$ 的范畴是完全忠实的。
• 在相同假设下，通过使用通用纤维 $\mathfrak{X}_\eta$ 与特殊纤维的完美化，分别替代 $\mathfrak{X}_a$ 与 $\mathfrak{X}_{\text{red}}$，也建立了类似的完全忠实函子。