[论文解读] The Sasaki Join, Hamiltonian 2-forms, and Constant Scalar Curvature

Charles P. Boyer, Christina W. Tønnesen-Friedman|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种广义的连接构造，将一个普通的萨斯奇安流形与一个加权萨斯奇安3-球面结合，从而生成新的显式萨斯奇安度量，其标量曲率为常数（CSC），包括萨斯奇安爱因斯坦度量。通过在所得凯勒轨道丛底面上利用哈密顿2-形式在萨斯奇安锥内进行形变，作者证明了在紧致萨斯奇安流形（维度为 $2n+3$）上存在多个CSC射线——甚至包括非规则的——且在固定CR与接触流形上CSC结构不唯一。

ABSTRACT

We describe a general procedure for constructing new Sasaki metrics of constant scalar curvature from old ones. Explicitly, we begin with a regular Sasaki metric of constant scalar curvature on a 2n+1-dimensional compact manifold M and construct a sequence, depending on four integer parameters, of rays of constant scalar curvature (CSC) Sasaki metrics on a compact Sasaki manifold of dimension $2n+3$. We also give examples which show that the CSC rays are often not unique on a fixed strictly pseudoconvex CR manifold or a fixed contact manifold. Moreover, it is shown that when the first Chern class of the contact bundle vanishes, there is a two dimensional subcone of Sasaki Ricci solitons in the Sasaki cone, and a unique Sasaki-Einstein metric in each of the two dimensional sub cones.

研究动机与目标

• 通过广义连接构造，在紧致萨斯奇安流形上构造新的显式萨斯奇安度量，使其标量曲率为常数（CSC）。
• 通过在萨斯奇安锥内形变，研究在固定严格强伪凸CR流形上CSC结构的存在性与多重性。
• 将哈密顿2-形式形式化推广至萨斯奇安设定，以在轨道丛底面上构造极值与CSC凯勒度量。
• 分析萨斯奇安里奇流形孤立子的结构及其与凯勒里奇流形孤立子在连接构造背景下的关系。
• 展示在萨斯奇安锥中CSC射线的非唯一性，即使底层CR与接触结构保持不变。

提出的方法

• 将一个正则萨斯奇安流形 $M$ 与一个加权3-球面 $S^3_{f{w}}$（其权重 $w_1, w_2$ 互质）进行萨斯奇安连接，构造 $M_{l_1,l_2,f{w}} = M owtie_{l_1,l_2} S^3_{f{w}}$。
• 在凯勒轨道丛底面 $S_n = \mathbb{P}(\mathcal{O} \oplus L_n)$ 上利用哈密顿2-形式形式化，构造极值凯勒度量。
• 在二维 ${\bf w}$-萨斯奇安锥内形变，通过横截凯勒几何获得标量曲率为常数的萨斯奇安度量。
• 应用可接受构造框架，通过将极值萨斯奇安方程约化为区间 $[-1,1]$ 上的二阶常微分方程，求解该方程。
• 应用横截凯勒里奇流形孤立子方程 $\rho^T - \lambda \omega^T = \pounds_V \omega^T$，证明萨斯奇安里奇流形孤立子在锥中的存在性。
• 利用缩放不变性与参数的光滑依赖性，证明当底面为凯勒-爱因斯坦时，萨斯奇安里奇流形孤立子在 ${\bf w}$-萨斯奇安锥的所有射线上均存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过几何连接操作，从已有的萨斯奇安度量构造出新的显式萨斯奇安度量，使其标量曲率为常数？
• RQ2 在连接流形的萨斯奇安锥中，于同一底层CR与接触流形上，何时会存在多个不同的CSC射线？
• RQ3 在凯勒轨道丛底面上，哈密顿2-形式形式化如何实现极值与CSC萨斯奇安度量的构造？
• RQ4 在萨斯奇安连接构造的背景下，萨斯奇安里奇流形孤立子与凯勒里奇流形孤立子之间存在何种关系？
• RQ5 萨斯奇安锥在何种情况下包含一个二维子锥的萨斯奇安里奇流形孤立子？在何种情况下存在唯一的萨斯奇安爱因斯坦度量？

主要发现

• 对于任意一个标量曲率为常数的正则萨斯奇安流形 $M$，以及任意一组互质权重 $w_1 > w_2 > 0$，在 ${\bf w}$-萨斯奇安锥中均存在一个Reeb向量场，使得对应的萨斯奇安结构射线具有常数标量曲率。
• 当底面凯勒流形 $N$ 的标量曲率满足 $s_N \geq 0$ 时，整个 ${\bf w}$-萨斯奇安锥均由极值萨斯奇安度量填满。
• 若 $s_N > 0$ 且 $l_2$ 足够大，则 ${\bf w}$-萨斯奇安锥中至少包含三个不同的CSC射线，证明了在固定CR流形上CSC结构的非唯一性。
• 本文在 $S^2$ 上的两个 $S^5$-丛上构造了可数无穷多个非等价的接触结构，每种结构均至少包含三个CSC射线。
• 当底面 $N$ 为正标量曲率的凯勒-爱因斯坦时，整个 ${\bf w}$-萨斯奇安锥中包含一个二维子锥的萨斯奇安里奇流形孤立子，且每个射线均具有萨斯奇安里奇流形孤立子结构。
• 在底面为凯勒-爱因斯坦的条件下，通过将可接受构造推广至里奇流形孤立子设定，证明了所有 ${\bf w}$-萨斯奇安锥射线上均存在萨斯奇安里奇流形孤立子。