[论文解读] The simplicity of the first spectral radius of a meromorphic map

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文在条件 $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ 下建立了紧致凯勒流形上亚纯映射 $f$ 的第一谱半径 $\lambda_1(f)$ 的简洁性，证明其为 $f^*$ 在 $H^{1,1}(X)$ 上的单特征值，且是模大于 $\sqrt{\lambda_2(f)}$ 的唯一特征值。该结果推广至特征零代数闭域上的代数设定，应用于三维流形上的双有理映射与伪自同构。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kähler manifold and let $f:X ightarrow X$ be a dominant rational map which is 1-stable. Let $λ_1$ and $λ_2$ be the first and second dynamical degrees of $f$. If $λ_1^2>λ_2$, then we show that $λ_1$ is a simple eigenvalue of $f^*:H^{1,1}(X) ightarrow H^{1,1}(X)$, and moreover the unique eigenvalue of modulus $>\sqrt{λ_2}$. A variant of the result, where we consider the first spectral radius in the case the map $f$ may not be 1-stable, is also given. An application is stated for bimeromorphic selfmaps of 3-folds. In the last section of the paper, we prove analogs of the above results in the algebraic setting, where $X$ is a projective manifold over an algebraic closed field of characteristic zero, and $f:X ightarrow X$ is a rational map. Part of the section is devoted to defining dynamical degrees in the algebraic setting. We stress that here the dynamical degrees of rational maps can be defined over any algebraic closed field, not necessarily of characteristic zero.

研究动机与目标

• 在条件 $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ 下，建立紧致凯勒流形上主导亚纯映射 $f$ 的第一谱半径 $\lambda_1(f)$ 的简洁性。
• 通过上同调中保持拟有效类的性质，将谱简洁性结果推广至非 $1$-稳定情形。
• 将动力度理论与谱结果推广至特征零代数闭域上的代数设定。
• 提供以 $\lambda_1(f)^n$ 为基准、误差项指数衰减的动力度增长准则。
• 将结果应用于三维流形上的双有理映射，特别是满足 $\lambda_1(f) > 1$ 的伪自同构。

提出的方法

• 利用霍奇指数定理（霍奇-罗宾森双线性关系）分析 $H^{1,1}(X)$ 上上同调类的结构。
• 应用广中平祐的奇点消除方法，通过沿光滑中心的爆破解析有理映射的基点。
• 采用爆破的拉回-推出公式，关联映射在解析前后 $f^*$ 在 $N^1_{\mathbb{R}}(X)$ 上的作用。
• 依赖于动力度的对数凹性与在拟有效类保持下谱半径不等式 $r_1(f)^2 \geq r_2(f)$。
• 通过内隆-塔特高度与交点理论，将凯勒设定中的解析技巧适配至代数设定。
• 利用动力度的双有理不变性（通过引理13）比较同一概形不同模型上的映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，第一谱半径 $\lambda_1(f)$ 是 $f^*$ 在 $H^{1,1}(X)$ 上的单特征值？
• RQ2 当 $f^*$ 保持 $H^{2,2}(X)$ 上的拟有效锥时，谱简洁性结果能否推广至非 $1$-稳定映射？
• RQ3 $f^*$ 在 $H^{1,1}(X)$ 上的谱性质如何与 $f^n$ 的度增长相关？
• RQ4 在特征零代数闭域上的代数设定中，谱简洁性结果的类比为何？
• RQ5 这些结果能否用于分类三维流形上双有理映射的动力行为，特别是伪自同构？

主要发现

• 若 $f$ 为 $1$-稳定且 $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$，则 $\lambda_1(f)$ 是 $f^*: H^{1,1}(X) \to H^{1,1}(X)$ 上的单特征值。
• 在相同条件下，$\lambda_1(f)$ 是 $f^*$ 在 $H^{1,1}(X)$ 上模大于 $\sqrt{\lambda_2(f)}$ 的唯一特征值。
• 对于满足 $\lambda_1(f) > 1$ 的三维流形上双有理映射，$f$ 或 $f^{-1}$ 必有一者满足谱简洁性条件。
• $f^n$ 的度增长满足 $\deg(f^n) = c\lambda_1(f)^n + O(\tau^n)$，其中 $c > 0$ 且 $\tau < \lambda_1(f)$。
• 在特征零代数闭域上的代数设定中，$\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ 蕴含 $\lambda_1(f)$ 在 $N^1_{\mathbb{R}}(X)$ 上的谱简洁性。
• 当 $f^*$ 保持 $N^2_{\mathbb{R}}(X)$ 中有效类锥时，结果可推广，且在 $r_1(f)^2 > r_2(f)$ 条件下可得类似谱简洁性。