[论文解读] Automorphism groups of Calabi-Yau manifolds of Picard number two

Keiji Oguiso|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 17

一句话总结

本文证明了奇数维的庞加莱-西尔曼流形（Calabi-Yau manifold）在 Picard 数为二时，其自同构群总是有限的，这与 K3 曲面和超凯勒流形的行为形成鲜明对比。该结果基于对 nef 锥的分析以及尼龙-塞韦里群上特定二次型关系的缺失，此外还得到了关于双有理自同构群和 Picard 数为二的 Calabi-Yau 三流形的锥猜想的附加结果。

ABSTRACT

We prove that the automorphism group of an odd dimensional Calabi-Yau manifold of Picard number two is always a finite group. This makes a sharp contrast to the automorphism groups of K3 surfaces and hyperkähler manifolds and birational automorphism groups, as we shall see. We also clarify the relation between finiteness of the automorphism group (resp. birational automorphism group) and the rationality of the nef cone (resp. movable cone) for a hyperkähler manifold of Picard number two. We will also discuss a similar conjectual relation together with exsistence of rational curve, expected by the cone conjecture, for a Calabi-Yau threefold of Picard number two,

研究动机与目标

• 确定 Picard 数为二的 Calabi-Yau 流形的自同构群结构。
• 澄清在 Picard 数为二的超凯勒流形中，nef 锥与移动锥的有理性与自同构群或双有理自同构群有限性之间的关系。
• 研究 Calabi-Yau 三流形在 Picard 数为二时，有理曲线与锥猜想之间的预期关系。
• 构造一个显式例子，展示一个 Picard 数为二的 Calabi-Yau 三流形，其双有理自同构群为无限。

提出的方法

• 利用尼龙-塞韦里群和 Picard 格上的交比形式分析 nef 锥的几何结构。
• 应用 Fujiki 关系和 Beauville-Bogomolov 形式以检测特定二次型结构的缺失。
• 采用 Markman 对弱移动锥猜想的解法以及 Huybrechts-Verbitsky 的全局 Torelli 定理处理超凯勒流形。
• 使用 Kawamata 定理将双有理映射分解为 flops，以描述双有理自同构群。
• 在尼龙-塞韦里群上对 flops 的作用执行显式矩阵计算，以证明某些自同构的无限阶。
• 通过阿贝尔曲面上稳定对象的模空间构造一个具体的 Calabi-Yau 三流形，以实现非有理的移动锥。

实验结果

研究问题

• RQ1 奇数维 Calabi-Yau 流形在 Picard 数为二时，其自同构群是否总是有限的？
• RQ2 在 Picard 数为二的超凯勒流形中，nef 锥的有理性如何与自同构群的有限性相关联？
• RQ3 能否将 Picard 数为二的 Calabi-Yau 三流形的移动锥猜想与有理曲线的存在性联系起来？
• RQ4 若不存在形如 $(x^n)_X = c(q_X(x))^{n/2}$ 的二次型关系，是否意味着在 Picard 数为二的偶数维 Calabi-Yau 流形中自同构群为有限？
• RQ5 能否构造一个显式的 Picard 数为二的 Calabi-Yau 三流形，使其双有理自同构群为无限？

主要发现

• 奇数维 Calabi-Yau 流形在 Picard 数为二时，其自同构群总是有限的。
• 对于 Picard 数为二的偶数维 Calabi-Yau 流形，若不存在实二次型 $q_X(x)$ 使得 $(x^n)_X = c(q_X(x))^{n/2}$，则其自同构群为有限。
• 在 Picard 数为二的超凯勒流形中，自同构群为有限当且仅当 nef 锥的两条边界射线均为有理的。
• 在 Picard 数为二的超凯勒流形中，双有理自同构群为无限当且仅当移动锥的两条边界射线均为无理的。
• 构造了一个显式的 Picard 数为二的 Calabi-Yau 三流形，其双有理自同构群为无限，且其移动锥的边界射线为无理的。
• 双有理自同构群在 nef 锥上的作用具有一个有限的有理多面体基本域，支持锥猜想。