[论文解读] The sum of digits function of the base phi expansion of the natural numbers

Michel Dekking|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文证明了自然数的黄金比例基（base phi）展开中，数位和函数模 2 的结果构成一个类似 Thue-Morse 序列的形态序列（morphic sequence）。研究确立了该序列是由一个 8 字符字母表上的自同态（morphism）的不动点生成的，并表明 0 和 1 的频率均为精确的 1/2，展示了其尽管由确定性构造生成，却具有伪随机结构的特性。

ABSTRACT

In the base phi expansion any natural number is written uniquely as a sum of powers of the golden mean with digits 0 and 1, where one requires that the product of two consecutive digits is always 0. In this paper we show that the sum of digits function modulo 2 of these expansions is a morphic sequence. In particular we prove that --- like for the Thue-Morse sequence --- the frequency of 0's and 1's in this sequence is equal to 1/2.

研究动机与目标

• 研究自然数在黄金比例基展开中，数位和函数模 2 的动力学与结构特性。
• 确定该序列是否表现出均匀数字频率等伪随机特性。
• 通过构造一个自同态，使其不动点经由字母到字母的编码映射后生成数位和序列，从而确立该序列的形态结构。
• 计算序列中所有长度为 2 的子串的自然密度，以评估其统计均匀性。

提出的方法

• 使用黄金比例 φ = (1+√5)/2 定义自然数的黄金比例基展开，数字仅使用 0 和 1，且不允许连续出现 1。
• 引入数位和函数 sβ(N)，并定义其模 2 运算结果为 xβ(N) = sβ(N) mod 2。
• 将自然数划分为卢卡斯区间 Λn = [L2n, L2n+1] 和 Λ2n+1 = [L2n+1+1, L2n+2−1]，其中 Lk 为卢卡斯数。
• 在每个区间内利用卢卡斯数展开的性质及带逆字母的词代数，推导出 β(N) 的递归关系。
• 在 8 字符字母表 A = {1,…,8} 上定义一个自同态 τ，递归地生成序列结构，且满足镜像对称性 τμ = μτ。
• 应用字母到字母的编码 λ: A → {0,1}，将 τ 的不动点映射为序列 xβ，从而证明 xβ = λ(t)。

实验结果

研究问题

• RQ1 自然数在黄金比例基展开中，数位和函数模 2 是否为一个形态序列？
• RQ2 该序列中 0 和 1 的自然密度各是多少？
• RQ3 长度为 2 的子串（00、01、10、11）是否以反映伪随机性的频率出现？
• RQ4 该序列是否可由一个自同态的不动点与编码映射生成？
• RQ5 自同态 τ 的镜像对称性是否意味着 0 和 1 的频率保持平衡？

主要发现

• 序列 xβ(N) = sβ(N) mod 2 是一个形态序列，作为 8 字符字母表上自同态 τ 的不动点的字母到字母编码结果而生成。
• 序列 xβ 中 0 和 1 的频率均为精确的 1/2，证实了其均匀分布。
• 序列 xβ 中子串 00 和 11 的频率为 1/10√5 ≈ 0.2236，而 01 和 10 的频率各为 1/2 − 1/10√5 ≈ 0.2764。
• 自同态 τ 具有镜像不变性（τμ = μτ），且编码 λ 满足 λμ = λ̄，从而保证了 0 和 1 频率的平衡。
• 序列 xβ 完全由卢卡斯区间上的递归关系决定，其中 xβ(Λ2n) = xβ([0, L2n−1]) 且 xβ(Λ2n+1) = x̄β(Λ2n−1)xβ(Λ2n−2)x̄β(Λ2n−1)。
• 2-块替换 τ[2] 的关联矩阵具有归一化的特征向量，可精确计算出 τ 的不动点中所有长度为 2 的子串的频率。