[论文解读] The Symplectic Sum Formula for Gromov-Witten Invariants

Eleny-Nicoleta Ionel, Thomas H. Parker|ArXiv.org|Oct 23, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 23

一句话总结

本文建立了一种辛和公式，用于通过每个分量的相对不变量计算沿共同的余维二子流形粘合而成的辛流形的格罗莫夫-威滕不变量。该公式依赖于退化到奇异中心纤维的过程，并对节点附近的全纯映射进行重归一化，表明和的不变量等于具有匹配接触阶和同调类的相对不变量的卷积。

ABSTRACT

In the symplectic category there is a `connect sum' operation that glues symplectic manifolds by identifying neighborhoods of embedded codimension two submanifolds. This paper establishes a formula for the Gromov-Witten invariants of a symplectic sum Z=X#Y in terms of the relative GW invariants of X and Y. Several applications to enumerative geometry are given.

研究动机与目标

• 推导一个通用公式，将辛和 $ Z = X \#_V Y $ 的格罗莫夫-威滕不变量表示为 $ (X,V) $ 和 $ (Y,V) $ 的相对不变量。
• 解决标准 GW 不变量无法捕捉极限中非连通区域的问题，从而需要使用陶布斯-维滕不变量。
• 通过在节点附近引入重归一化映射，解决颈部压缩映射非单射的问题，以恢复收敛性信息。
• 在稳定映射的模空间上定义并利用柱状度量，以控制几乎复结构在节点曲线附近的性质。
• 确保 $ X $ 和 $ Y $ 沿 $ V $ 上的几乎复结构相容，引入 $ V $-相容性条件，这对于全纯极限映射至关重要。

提出的方法

• 构造一个在单位圆盘上定义的族 $ Z \to D $，其中 $ \lambda \neq 0 $ 时的纤维 $ Z_\lambda $ 为光滑的，中心纤维 $ Z_0 = X \cup_V Y $，使用法丛中的方程 $ xy = \lambda $。
• 利用 $ J $-全纯映射的紧致性定理，证明当 $ \lambda \to 0 $ 时，映射到 $ Z_\lambda $ 的序列收敛于映射到 $ Z_0 = X \cup_V Y $ 的极限，极限可能包含在 $ V $ 中的分量。
• 在节点附近引入重归一化映射 $ \hat{f}_n $，以分析颈部压缩下全纯映射序列的局部行为，确保在更精细的拓扑中收敛。
• 通过复结构变化的 $ L^2 $-范数定义模空间上的距离函数，节点集附近度量为 $ \sum_k |\log(\mu_k' / \mu_k)|^2 $。
• 通过将柱状端与 $ (0,1]^\ell $ 识别，对模空间进行紧化，投影到 Deligne-Mumford 紧化，从而控制退化行为。
• 通过在几乎复结构上引入 $ V $-相容性条件，确保极限映射是全纯的，代价是在 $ V $ 附近失去摄动正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用 $ (X,V) $ 和 $ (Y,V) $ 的相对不变量表达辛和 $ Z = X \#_V Y $ 的格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ2 当颈部尺寸 $ \lambda \to 0 $ 时，辛和的退化过程中全纯映射会发生什么变化，其极限行为如何控制？
• RQ3 为何标准 GW 不变量在辛和设定下无法捕捉正确的计数，应使用何种不变量替代？
• RQ4 在分析节点附近全纯映射收敛性时，如何解决颈部压缩映射非单射的问题？
• RQ5 模空间上何种度量结构可实现对节点曲线附近复结构变化的统一控制？

主要发现

• 辛和公式将和 $ Z $ 的陶布斯-维滕不变量表达为来自 $ X $ 和 $ Y $ 的相对不变量的卷积，其中接触阶 $ s = (s_1, \dots, s_\ell) $ 和同调类相匹配。
• 当几乎复结构为 $ V $-相容时，映射到 $ Z_\lambda $ 的 $ J $-全纯映射在 $ \lambda \to 0 $ 时的极限是映射到 $ Z_0 = X \cup_V Y $ 的全纯映射。
• 映射到 $ Z_0 $ 的稳定映射模空间包含完全位于 $ V $ 中的分量，这些分量被排除在相对不变量之外，因此不贡献于和公式的左边。
• 柱状度量 $ \sum_k |\log(\mu_k' / \mu_k)|^2 $ 在模空间的节点集补集上提供一个全局但不完备的度量，其渐近行为在每个坐标上类似于圆柱。
• 重归一化映射 $ \hat{f}_n $ 在节点以外的紧子集上以 $ C^{\infty} $-拓扑收敛，其在法丛上的提升使得对颈部压缩极限的精确控制成为可能。
• 通过柱状端对模空间的紧化投影到 Deligne-Mumford 紧化，其在节点层 $ \mathcal{N}_\ell $ 上的纤维同构于一个环丛 $ W_\ell $。