[论文解读] The Temperley-Lieb categories and skein modules

Joshua Chen|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 8

一句话总结

本论文发展了Temperley-Lieb范畴与系结模的理论，以构建球面对称融合范畴，进而用于定义$n$-孔圆盘的Turaev-Viro系结模。关键贡献在于证明了当在单位根处特化时，通用Temperley-Lieb-Jones范畴变为半单且球面对称的，从而使得在$(2+1)$维TQFT中通过系结模构造拓扑不变量成为可能。

ABSTRACT

We develop the theory of diagrammatic Temperley-Lieb categories in order to construct examples of spherical fusion categories, which we then use to construct Turaev-Viro skein modules for n-holed disks. This is a thesis submitted for the degree of Bachelor of Science with Honours at the Australian National University.

研究动机与目标

• 发展Temperley-Lieb范畴的图解理论，作为构造拓扑不变量的基础。
• 利用Jones-Wenzl幂等元建立通用Temperley-Lieb-Jones范畴的半单性。
• 通过商去可忽略态射，分析范畴在单位根处的行为。
• 利用所得的球面对称融合范畴，为$n$-孔圆盘构造Turaev-Viro系结模。
• 提供一个自包含的阐述，连接图解范畴、系结理论与拓扑量子场论。

提出的方法

• 使用图解生成元与关系构造通用Temperley-Lieb范畴，其自同态空间同构于Temperley-Lieb代数。
• 引入Jones-Wenzl幂等元以分解范畴，并证明通用Temperley-Lieb-Jones范畴的半单性。
• 应用图解恒等式与系结关系，降低复杂度，并验证范畴的一致性。
• 将量子参数$q$特化为单位根，并将可忽略理想定义为迹形式的核。
• 对范畴商去可忽略理想，得到一个具有有限多个简单对象的半单、球面对称融合范畴。
• 利用所得范畴通过状态和构造定义$n$-孔圆盘的Turaev-Viro系结模。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Temperley-Lieb范畴扩展为适合TQFT构造的球面对称融合范畴？
• RQ2 当量子参数$q$特化为单位根时，Temperley-Lieb-Jones范畴的结构是怎样的？
• RQ3 Jones-Wenzl幂等元如何促进通用Temperley-Lieb-Jones范畴的半单性？
• RQ4 可忽略理想在单位根处的范畴中起什么作用？为何商去它能产生一个半单范畴？
• RQ5 能否利用从Temperley-Lieb-Jones范畴导出的球面对称融合范畴，显式构造$n$-孔圆盘的Turaev-Viro系结模？

主要发现

• 通过Jones-Wenzl幂等元的存在性与性质，证明了通用Temperley-Lieb-Jones范畴是半单的。
• 在单位根处，该范畴等价于半简化范畴$\mathrm{Rep}\,U_q(\mathfrak{sl}_2)$，建立了与量子群的联系。
• 在商去可忽略理想后，单位根处的范畴成为一个具有有限多个简单对象的半单球面对称融合范畴。
• 所得范畴支持通过状态和不变量为$n$-孔圆盘构造Turaev-Viro系结模。
• 图解恒等式与重写规则降低了系结模中的复杂度，使得不变量的显式计算成为可能。