[论文解读] Classical shadows of stated skein representations at roots of unity

Julien Korinman, Alexandre Quesney|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用 9

一句话总结

本文利用Lﻮ的陈述型辫子代数，将经典辫子代数与表征簇理论的结果推广至带边界的开穿孔曲面。证明了在参数+1时的陈述型辫子代数可自然地嵌入到奇单位根处的代数中心中，并构建了+1代数与相对SL2-表征簇上正则函数代数之间的同构，从而通过其经典影子将每个不可约或局部表示与表征簇中的一个点关联起来。

ABSTRACT

We extend some results of Bonahon, Bullock, Turaev and Wong concerning the skein algebras of closed surfaces to L^e's stated skein algebra associated to open surfaces. We prove that the stated skein algebra with deforming parameter +1 embeds canonically into the centers of the stated skein algebras whose deforming parameter is an odd root unity. We also construct an isomorphism between the stated skein algebra at +1 and the algebra of regular function of a generalization of the SL2-character variety of the surface. As a result, we associate to each isomorphism class of irreducible or local representations of the stated skein algebra, an invariant which is a point in the character variety.

研究动机与目标

• 将经典辫子代数与表征簇理论的结果从闭曲面推广至开穿孔曲面。
• 在奇单位根处，建立参数为+1的陈述型辫子代数到代数中心的自然嵌入。
• 构建开曲面上参数为+1的陈述型辫子代数与相对SL2-表征簇上正则函数代数之间的同构。
• 为陈述型辫子代数的不可约或局部表示的同构类定义经典影子不变量，将其映射至表征簇中的一个点。

提出的方法

• 采用L\ufee的陈述型辫子代数构造方法，该方法将Kauffman括号辫子代数推广至具有边界弧的开曲面。
• 使用一个与粘合顺序无关的粘合态射 i|a#b: Sω(Σ|a#b) ↠ Sω(Σ)，从而实现基于三角剖分的嵌入，进入三角代数的张量积。
• 对辫子图应用滤子与首项分析，证明：若元素与所有 βµ,µ' 交换且次数小于 2N，则必为常数。
• 利用量子迹与切比雪夫多项式 TN 的性质，当 q 为奇单位根时，将矩阵乘积的迹与它们的 N 次幂的迹关联起来。
• 利用如下事实：当 ω = +1 时，陈述型辫子代数同构于相对 SL2-表征簇的坐标环，该同构基于泊松结构与代数的非退化性。
• 采用一个关键引理：若某元素与所有 βµ,µ' 交换且次数小于 2N，则其必为常数，该引理用于证明主要嵌入结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于开曲面，参数为+1的陈述型辫子代数是否可自然地嵌入到奇单位根处的代数中心中？
• RQ2 是否存在参数为+1的陈述型辫子代数与开穿孔曲面相对SL2-表征簇上正则函数代数之间的自然同构？
• RQ3 陈述型辫子代数的不可约或局部表示的每个同构类是否可与相对表征簇中的一个明确点关联？
• RQ4 在陈述型辫子代数的框架下，经典影子构造如何从闭曲面推广至开曲面？

主要发现

• 参数为+1的陈述型辫子代数可自然地嵌入到奇单位根 N > 1 处的代数中心中。
• 存在一个自然同构，将参数为+1的陈述型辫子代数与开曲面相对SL2-表征簇上正则函数代数联系起来。
• 陈述型辫子代数的任意不可约或局部表示的经典影子是相对SL2-表征簇中的一个明确点。
• 主要结果，即命题2.38，建立了在特定曲面上的陈述型辫子代数中 TN(α++ + α−−) = αN++ + αN−−，该等式对同构与嵌入结果至关重要。
• 证明依赖于对辫子图首项的次数论证，以及如下事实：与所有 βµ,µ' 交换且次数小于 2N 的元素必为常数。
• 该结果推广了Bonahon的量子迹定理至开曲面情形，表明当 q 为奇单位根时，TN(Tr(A1...Ak)) = Tr(A(N)1...A(N)k)。