[论文解读] The universal Hopf algebra associated with a Hopf-Lie-Rinehart algebra

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Feb 26, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文引入了霍普夫-李-林哈特代数的概念，即在基代数上配备与之相容的霍普夫代数结构的李-林哈特代数的推广。证明了此类结构的普遍代数自然地获得双代数或霍普夫代数结构，将李代数普遍包络代数的经典霍普夫代数性质推广到了更广泛的李-林哈特设定中。

ABSTRACT

We introduce a notion of Hopf-Lie-Rinehart algebra and show that the universal algebra of a Hopf-Lie-Rinehart algebra acquires an ordinary Hopf algebra structure.

研究动机与目标

• 将李代数普遍包络代数的著名霍普夫代数结构推广到更一般的李-林哈特代数设定。
• 确定李-林哈特代数的普遍代数在何种代数条件下可赋予共乘法与余单位元。
• 引入并形式化霍普夫-李-林哈特代数的概念，作为此类结构的自然框架。
• 将经典结果（即余交换霍普夫代数是其原始元素的包络代数）推广至李-林哈特上下文。
• 探讨基代数上的霍普夫代数结构与模上的李-林哈特代数结构之间的相容性。

提出的方法

• 作为霍普夫-李-林哈特代数的前奏，引入双李-林哈特代数的概念，要求李-林哈特结构与双代数结构相容。
• 将霍普夫-李-林哈特代数定义为：基代数 $A$ 装备有与 $L$ 上的 $A$-模作用和李括号相容的霍普夫代数结构的李-林哈特代数。
• 将普遍代数 $\mathrm{U}(A,L)$ 构造为张量代数 $T_A(L)$ 关于由关系 $\alpha \otimes a - a \cdot \alpha - \alpha(a)$ 生成的双边理想（$\alpha \in L$, $a \in A$）的商代数。
• 通过张量代数的普遍性质以及 $A$ 和 $L$ 上的对角映射，定义共乘法 $\Delta: \mathrm{U}(A,L) \to \mathrm{U}(A,L) \otimes_A \mathrm{U}(A,L)$。
• 利用 $A$ 的余单位元和 $L$ 上的平凡作用，定义余单位元 $\varepsilon: \mathrm{U}(A,L) \to R$，确保其与代数结构相容。
• 验证共乘法与余单位元满足双代数公理，并在适当条件下证明对合存在，从而得到霍普夫代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，李-林哈特代数 $(A,L)$ 的普遍代数 $\mathrm{U}(A,L)$ 可赋予霍普夫代数结构？
• RQ2 如何将李代数 $\mathfrak{g}$ 的 $\mathrm{U}(\mathfrak{g})$ 上的经典霍普夫代数结构推广至李-林哈特代数的情形？
• RQ3 基代数 $A$ 需要具备何种额外结构，才能将双代数或霍普夫代数结构提升至 $\mathrm{U}(A,L)$？
• RQ4 能否在李-林哈特代数的普遍代数上赋予一个共乘法，使其同时尊重 $A$-模结构和李代数结构？
• RQ5 对偶性与有限生成投射模在将共乘法扩展为霍普夫代数结构中起什么作用？

主要发现

• 当 $A$ 为霍普夫代数时，霍普夫-李-林哈特代数 $(A,L)$ 的普遍代数 $\mathrm{U}(A,L)$ 自然地获得双代数结构。
• $\mathrm{U}(A,L)$ 上的共乘法由 $A$ 和 $L$ 上的对角映射诱导，并通过张量代数的普遍性质扩展。
• $\mathrm{U}(A,L)$ 上的余单位元由 $A$ 的余单位元和 $L$ 上的平凡作用诱导，且满足所需的相容性条件。
• 当 $A$ 为霍普夫代数且 $L$ 在 $A$ 上的作用与 $A$ 上的对角映射相容时，所得的普遍代数 $\mathrm{U}(A,L)$ 成为霍普夫代数。
• 该构造推广了经典结果：李代数的普遍包络代数是余交换霍普夫代数。
• 本文猜想，通过利用对偶性和有限生成投射假设导出的映射 $L \to L \otimes L$ 对共乘法进行扰动，可能产生新的双代数结构，尽管未提供显式例子。