[论文解读] Differential Batalin-Vilkovisky algebras arising from twilled Lie-Rinehart algebras

Johannes Huebschmann|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用 16

一句话总结

本文建立了一套微分同调代数框架，将双纤维（twilled）Lie-Rinehart代数与微分Batalin-Vilkovisky（dBV）代数联系起来，推广了Koszul关于精确生成元与平坦联络之间对应关系的结论。证明了几乎复结构可积当且仅当其对应的Gerstenhaber代数成为微分Gerstenhaber代数，并通过卡拉比-丘流形上的全纯体积形式与dBV代数生成元，给出了Tian-Todorov引理的范畴化证明。

ABSTRACT

Twilled L(ie-)R(inehart)-algebras generalize, in the Lie-Rinehart context, complex structures on smooth manifolds. An almost complex manifold determines an "almost twilled pre-LR algebra", which is a true twilled LR-algebra iff the almost complex structure is integrable. We characterize twilled LR structures in terms of certain associated differential (bi)graded Lie and G(erstenhaber)-algebras; in particular the G-algebra arising from an almost complex structure is a d(ifferential) G-algebra iff the almost complex structure is integrable. Such G-algebras, endowed with a generator turning them into a B(atalin-)V(ilkovisky)-algebra, occur on the B-side of the mirror conjecture. We generalize a result of Koszul to those dG-algebras which arise from twilled LR-algebras. A special case thereof explains the relationship between holomorphic volume forms and exact generators for the corresponding dG-algebra and thus yields in particular a conceptual proof of the Tian-Todorov lemma. We give a differential homological algebra interpretation for twilled LR-algebras and by means of it we elucidate the notion of generator in terms of homological duality for differential graded LR-algebras.

研究动机与目标

• 将Koszul关于精确生成元与平坦联络之间对应关系的结论推广至双纤维Lie-Rinehart代数的背景。
• 通过形式上的微分Gerstenhaber代数结构表征几乎复结构的可积性。
• 为源自双纤维Lie-Rinehart代数的dBV代数中生成元提供同调对偶的解释。
• 利用卡拉比-丘流形上的全纯体积形式与dBV代数结构，给出Tian-Todorov引理的范畴化证明。
• 在双纤维Lie-Rinehart代数关联的dG代数中，建立全纯体积形式与精确生成元之间的双射对应关系。

提出的方法

• 通过A-代数L''与Λ_A L'的交错张量空间Alt_A(L'', Λ_A L')和Alt_A(D, A)之间的同构，从双纤维Lie-Rinehart代数的外代数构造一个双分次Gerstenhaber代数。
• 利用Alt_A(L'', Λ_A L')上的Lie-Rinehart微分d''，在双分次Gerstenhaber代数上定义一个微分。
• 通过L' ⊕ L''*与L'' ⊕ L'*之间的对偶性，将Lie-Rinehart双代数结构与微分Gerstenhaber代数条件联系起来。
• 利用伴随同构(4.1.1)与(4.1.2)，将Gerstenhaber括积与微分在同构的双分次A-代数之间传递。
• 证明当且仅当底层的几乎双纤维Lie-Rinehart代数为真正的双纤维代数时，微分Gerstenhaber代数结构才会出现。
• 通过Lie-Rinehart双代数与微分分次代数之间的对偶性，将生成元解释为同调对偶条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个几乎双纤维Lie-Rinehart代数成为真正的双纤维Lie-Rinehart代数？
• RQ2 几乎复结构的可积性如何与相关形式上的微分Gerstenhaber代数结构相关联？
• RQ3 在卡拉比-丘流形的背景下，全纯体积形式在确定微分Gerstenhaber代数的精确生成元中起什么作用？
• RQ4 Koszul关于精确生成元与平坦联络之间对应关系的结论，如何推广至双纤维Lie-Rinehart代数？
• RQ5 源自双纤维Lie-Rinehart代数的微分Batalin-Vilkovisky代数中，生成元的同调对偶解释是什么？

主要发现

• 一个几乎双纤维Lie-Rinehart代数是真正的双纤维Lie-Rinehart代数，当且仅当其关联的双分次Gerstenhaber代数是微分Gerstenhaber代数。
• Alt_A(L'', Λ_A L')上的微分Gerstenhaber代数结构成立，当且仅当(A, L, D)构成一个Lie-Rinehart双代数。
• 卡拉比-丘流形上的全纯体积形动生成关联微分Gerstenhaber代数的精确生成元，使其成为微分Batalin-Vilkovisky代数。
• Tian-Todorov引理由dG代数框架中全纯体积形式与精确生成元之间的对应关系，得到了范畴化的证明。
• 本文推广了Koszul定理，表明在双纤维Lie-Rinehart代数的背景下，精确生成元与全纯体积形式之间存在双射对应。
• dBV代数的生成元对应于微分分次Lie-Rinehart代数框架中的同调对偶条件。