[論文レビュー] The Verlinde Algebra And The Cohomology Of The Grassmannian

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 1993

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 37被引用数 219

ひとこと要約

本稿は、$k$ 個の基本的フェルミオンを有する 2D ${\cal N}=2$ スーパー対称 $U(k)$ ゲージ理論を通じて、グレイスマン多様体 $G(k,N)$ の量子コホホロジーと、$U(k)$ のレベル $N-k$ におけるヴェルリンデ代数との間の概念的関係を確立する。低エネルギー有効理論を分析することで、$G(k,N)$ 上のシグマ模型のトポロジカル相関関数が、ヴェルリンデ代数を計算する $U(k)/U(k)$ ゲージ化 WZW モデルのそれらに写像されることを示し、量子レベルにおける両者の環の同型を証明する。

ABSTRACT

The article is devoted to a quantum field theory explanation of the relationship (noticed some years ago by Gepner) between the Verlinde algebra of the group $U(k)$ at level $N-k$ and the cohomology of the Grassmannian. The argument proceeds by starting with the two dimensional sigma model whose target space is the Grassmannian and integrating out some fields in a standard way. It has long been known that the resulting low energy effective action describes a theory with a mass gap; the novelty here is that this theory in fact is equivalent at long distances to a gauged WZW model of $U(k)/U(k)$, and hence is related to the Verlinde algebra.

研究の動機と目的

• グレイスマン多様体 $G(k,N)$ の量子コホホロジーと、$U(k)$ のレベル $N-k$ におけるヴェルリンデ代数との間の予想される同型性を、物理的で量子場理論的な説明を与えること。
• ${\cal N}=2$ $U(k)$ ゲージ理論に $N$ 個の基本的フェルミオン超多重項を有する系の低エネルギー有効理論が、$U(k)/U(k)$ ゲージ化ウェッズ＝ズミノ＝ウィッテン（WZW）モデルであることを示すこと。
• $G(k,N)$ 上のシグマ模型における相関関数（量子コホホロジーを計算するもの）と、$G/G$ モデルにおけるそれらが等価であることを示すこと。
• $k=2$ に対して、両者の環の関係式、次元、計量を比較することで、同型性を明示的に検証すること。

提案手法

• ${\cal N}=2$ スーパースペースにおける $N$ 個の基本的フェルミオン超多重項を有する $U(k)$ ゲージ理論を用いて、線形空間のシンプレクティック商としてグレイスマン多様体 $G(k,N)$ を実現する。
• 経路積分技法を用いて、物質多重項を統合した後の低エネルギー有効作用を導出し、それが $U(k)/U(k)$ ゲージ化 WZW モデルに帰着することを示す。
• アーベル化を適用して、$G/G$ モデルを最大トーラスとワイル群を有する理論に簡略化し、ヴェルリンデ代数の構造を計算しやすくする。
• $G(k,N)$ 上のシグマ模型および $G/G$ モデルにおけるトポロジカル相関関数を計算し、ヴェルリンデの公式を用いて両者が一致することを示す。
• 超ポテンシャル $W(c_1, c_2) = Σ_{i=1}^N (λ_i^{N+1} + λ_i)$ を用いて、$dW = 0$ を通じて量子コホホロジーの関係式を定義し、ヴェルリンデ代数の関係式と比較する。
• 量子コホホロジーの計量 $g_{{\sigma}}(f_r,1)$ とヴェルリンデ代数の計量 $g_V(V_s\eta^t,1)$ を計算し、一致させることで、正規化と構造の整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グレイスマン多様体 $G(k,N)$ の量子コホホロジーは、どのように物理的量子場理論から導出可能か？
• RQ2 ${\cal N}=2$ $U(k)$ ゲージ理論に $N$ 個の基本的フェルミオン超多重項を有する系の低エネルギー有効理論は何か？
• RQ3 $U(k)/U(k)$ ゲージ化 WZW モデルは、$G(k,N)$ の量子コホホロジーと同じ代数的構造を計算するか？
• RQ4 $U(k)$ のレベル $N-k$ におけるヴェルリンデ代数は、$G(k,N)$ の量子コホホロジー環と同型であるか？ もしそうなら、どのような物理的メカニズムによって実現されるか？
• RQ5 両者の環の関係式、次元、計量はどのように一致するか？

主な発見

• 量子コホホロジー環 $G(k,N)$ は、$u(1)$ 因子がレベル $N$ を寄与する、$U(k)$ のレベル $(N-k, N)$ におけるヴェルリンデ代数と同型である。
• $k=2$ の場合、量子コホホロジーは関係式 $\frac{\lambda_1^N - \lambda_2^N}{\lambda_1 - \lambda_2} = 0$ および $\frac{\lambda_1^{N+1} - \lambda_2^{N+1}}{\lambda_1 - \lambda_2} + 1 = 0$ で定義され、ヴェルリンデ代数の関係式と一致する。
• 量子コホホロジーとヴェルリンデ代数の次元はともに $N(N-1)/2$ であり、ベクトル空間としての同型性を確認する。
• 量子コホホロジーの計量は、留数公式の古典的極限を用いて計算され、ヴェルリンデ計量と正規化を除いて一致する。$g_\sigma(f_r,1) = \delta_{r,0}$ が成り立ち、双線形形式の同型性を確認する。
• $\lambda_i \leftrightarrow \tilde{\lambda}_i$ 変換における正規化定数 $c$ はスケーリング不変性によって固定され、計量における定数 $a$ は $r=0$ での一致によって固定され、整合性が確認される。
• 同様の議論により、$k=2$ を超える一般の $k$ および $N$ に対しても同型性が拡張可能であり、一般に成立すると示唆される。