[논문 리뷰] Calabi quasimorphism and quantum homology

Michael Entov, Leonid Polterovich|ArXiv.org|2002. 05. 23.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 23인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 양자 homology 가 반단순한 일부 단조 비틀림 심플렉틱 다양체에 대해, 그 해밀턴 미분형군의 전방위 덮개에서 비자명한 동차 쿼시함수를 구성한다. 이는 캘라비 함수를 전역 쿼시함수로 확장하며, 필터링된 플로어 호모로지와 양자 호모로지로부터 유도된 스펙트럴 불변량을 사용한다. 이에 따라 쿼시함수는 이심된 열린 집합에서 컴팩트 지지를 가진 해밀턴 미분형군과 일치하는 캘라비 불변량을 갖는다.

ABSTRACT

We prove that the group of area-preserving diffeomorphisms of the 2-sphere admits a non-trivial homogeneous quasimorphism to the real numbers with the following property. Its value on any diffeomorphism supported in a sufficiently small open subset of the sphere equals to the Calabi invariant of the diffeomorphism. This result extends to more general symplectic manifolds: If the symplectic manifold is monotone and its quantum homology algebra is semi-simple we construct a similar quasimorphism on the universal cover of the group of Hamiltonian diffeomorphisms.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 지지를 가진 해밀턴 미분형군에서만 정의되는 캘라비 함수를 전체 해밀턴 미분형군에 대한 전역 쿼시함수로 확장하는 것.
• 단조 비틀림 심플렉틱 다양체에서 양자 호모로지가 반단순일 경우, $ \widetilde{\mathrm{Ham}}(M) $ 의 비자명한 동차 쿼시함수의 존재를 확립하는 것.
• 이러한 쿼시함수가 이심된 정확한 열린 집합에 지지된 미분형군에서 캘라비 불변량과 일치함을 보여주는 것.
• 쿼시함수를 심플렉틱 토폴로지의 문제, 예를 들어 교환자 노름과 분해 성질에 적용하는 것.
• 심플렉틱 임bedding을 통해 디스크와 애너룰러스와 같은 열린 표면에서 연속적인 선형 독립 쿼시함수의 집합을 구성하는 것.

제안 방법

• 필터링된 플로어 호모로지에서 스펙트럴 불변량을 정의하고, 푸앵카레 대칭을 통해 양자 호모로지 대수와 연관짓는다.
• 스펙트럴 불변량을 사용하여 해밀턴 군의 전방위 덮개 $ \widetilde{G} $ 에서 쿼시함수 $ r $ 를 정의하며, 연속성과 유한성 성질을 활용한다.
• 비 아르키메데스 기하학적 보조정리를 적용하여 쿼시함수 조건에서 발생하는 오차를 통제하고, 동차성을 증명한다.
• 쿼시함수 $ r $ 에서 동차화를 통해 캘라비 쿼시함수 $ \tilde{\mu} $ 를 구성하며, 소규모 지지에서 캘라비 불변량과 일치하도록 보장한다.
• S^2 위의 해밀턴 패키지에 대한 세이델 작용을 활용하여 $ \pi_1(G) $ 의 원소들에 대해 쿼시함수를 계산하고, 이를 그로모프-위튼 불변량과 연결한다.
• 열린 표면(디스크와 애너룰러스)을 $ S^2 $ 에 임베딩하고, 쿼시함수를 당겨와 $ \epsilon $ 에 따라 매개변수화된 선형 독립 쿼시함수의 가족을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트 지지를 가진 해밀턴 미분형군에서 정의된 캘라비 함수는 전체 해밀턴 군에 대해 전역 쿼시함수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 심플렉틱 다양체 $ M $ 가 어떤 조건을 만족할 경우, 소규모 지지에서 캘라비 불변량으로 제한되는 비자명한 동차 쿼시함수 $ \widetilde{\mathrm{Ham}}(M) $ 가 존재하는가?
• RQ3 필터링된 플로어 호모로지의 스펙트럴 불변량과 캘라비 불변량 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 어떻게 열린 심플렉틱 표면에서 연속적인 선형 독립 캘라비 쿼시함수의 집합을 구성할 수 있는가?
• RQ5 양자 호모로지 대수의 반단순성은 이러한 쿼시함수의 존재에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비자명한 동차 쿼시함수 $ \tilde{\mu} $ 가 $ \widetilde{\mathrm{Ham}}(S^2) $ 에 존재하며, 이는 어떤 이심된 열린 집합에 지지된 미분형군에서 캘라비 불변량과 일치한다.
• M = S^2, S^2 \times S^2, \mathbb{C}P^2, 및 한 점에서 블로운 \mathbb{C}P^2 에 대해, 만약 양자 호모로지 대수가 반단순하다면 이러한 캘라비 쿼시함수가 존재한다.
• 쿼시함수 $ \tilde{\mu} $ 는 해밀턴 미분형군의 $ C^0 $-위상에 대해 연속적이다.
• 2차원 구에서 자율 해밀턴 $ F $ 의 쿼시함수는 $ \mu(\psi_F) = -\bar{F}(x_0) $ 로 주어지며, 여기서 $ x_0 $ 는 $ F $ 의 측도가 부여된 리브 트리의 중앙값이다.
• 애너룰러스와 디스크의 경우, $ S^2 $ 에의 심플렉틱 임베딩을 통해 $ \epsilon $ 에 따라 매개변수화된 선형 독립 캘라비 쿼시함수의 일련의 가족을 구성할 수 있다.
• 애너룰러스에서의 쿼시함수 $ \mu_{\epsilon} $ 는 $ \mu_{\epsilon}(\psi_H) = \mathrm{Cal}_M(\psi_H) - H(\epsilon) $ 를 만족하고, 디스크에서는 $ \mu_{\epsilon}(\psi_H) = \mathrm{Cal}_M(\psi_H) - \epsilon^{-1} H(\epsilon^{-1}/2) $ 를 만족하며, 이는 선형 독립성을 증명한다.