[論文レビュー] Non-geometric Backgrounds and the First Order String Sigma Model

Nick Halmagyi|ArXiv.org|Jun 16, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 46被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、バイベクトル、2形式、逆計量の結合を含む一次元ストリングシグマ模型を定式化し、バイベクトル場のグローバル性が非幾何的背景を生じることを示した。トポロジカル項を膜作用に上げることで、ロイテンベルグ括弧を記述する一般化されたウェッズ＝ツミノ項が得られ、$(H, F, Q, R)$フラックス係数は双対性の下で変換するが、バイベクトル $\Pi^{ij}$ は局所的にしか定義されないため、非幾何的性の唯一の原因であることが明らかになった。

ABSTRACT

We study the first order form of the NS string sigma model allowing for worldsheet couplings corresponding on the target space to a bi-vector, a two-form and an inverse metric. Lifting the topological sector of this action to three dimensions produces several Wess-Zumino like terms which encode the bi-vector generalization of the Courant bracket. This bracket may be familiar to physicists through the (H_{ijk},F_{ij}^{k},Q_i^{jk},R^{ijk}) notation for non-geometric backgrounds introduced by Shelton-Taylor-Wecht. The non-geometricity of the string theory in encoded in the global properties of the bi-vector, when the bi-vector is a section then the string theory is geometric. Another interesting situation emerges when one considers membrane actions which are not equivalent to string theories on the boundary of the membrane. Such a situation arises when one attempts to describe the so-called R-space (the third T-dual of a T^3 with H_3 flux). This model appears to be, at least classically, described by a membrane sigma model, not a string theory. Examples of geometric backgrounds with bi-vector couplings and non-vanishing Q-coefficients are provided by gauged WZW models.

研究の動機と目的

• バイベクトル結合を含む一次元シグマ模型を用いて、非幾何的ストリング背景のワールドーシート形式を構築すること。
• バイベクトル $\Pi^{ij}$ が非幾何的性をどのように符号化するかを、グローバルに定義されたフラックスと区別して明らかにすること。
• 一次元モデルのトポロジカル項を膜作用に上げ、一般化されたウェッズ＝ツミノ項を導出すること。
• $(H, F, Q, R)$フラックス係数がT双対性の下で変換する一方で $\Pi^{ij}$ が非自明に変換されることを示し、それが幾何的障害物としての役割を果たすことを示すこと。
• トーラスコン팩ティフィケーションを超えた非幾何的背景を研究するための枠組みを提供すること、$R$-空間やゲージ化WZWモデルを含む。

提案手法

• 計量、$B$-場、バイベクトル $\Pi^{ij}$ のワールドーシート結合を組み込んだ、共変ハミルトニアンとして一次元ストリングシグマ模型を定式化する。
• 空間および時間に関してそれぞれラプラス変換を行い、作用 $\mathcal{S} = \int_{\Sigma} \left( \eta^{ab} p_a \wedge *p_b + e^a \wedge p_a + B_{ab} e^a \wedge e^b + \Pi^{ab} p_a \wedge p_b \right)$ を構成する。
• 作用のトポロジカル部分を三次元の膜ワールドボリュームに上げることで、係数 $(H_{ijk}, F_{ij}^k, Q^{ij}_k, R^{ijk})$ を持つ一般化されたウェッズ＝ツミノ項を生成する。
• $\psi^i = dx^i + \Pi^{ik} p_k$ を定義し、一般化幾何学の観点から膜作用を記述することでロイテンベルグ括弧と結びつける。
• $(H, F, Q, R)$係数が $O(d,d,\mathbb{Z})$ 双対性の下で互いに変換されることを示し、$\Pi^{ij}$ が非自明に変換されることから、それが非幾何的性の源であることが明らかになる。
• 例として $T^3$ に $H$-フラックス、$Q$-空間、$R$-空間、ゲージ化WZWモデルを適用し、既知の双対性フレームと整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バイベクトル結合を含む一次元ワールドーシートシグマ模型において、非幾何的ストリング背景を一貫してどのように定式化できるか？
• RQ2 バイベクトル $\Pi^{ij}$ が幾何的背景と非幾何的背景を区別する上で果たす役割は何か？
• RQ3 一次元シグマ模型の膜への上昇によって、$(H, F, Q, R)$フラックス係数はどのように生じるか？
• RQ4 なぜバイベクトル $\Pi^{ij}$ は非幾何的背景では局所的にしか定義されないのに対し、フラックス $(H, F, Q, R)$ はグローバルに適切に定義されるのか？
• RQ5 一次元モデルを用いて、$R$-空間をストリング理論ではなく膜理論として記述できるか？

主な発見

• バイベクトル結合を含む一次元シグマ模型は、標準的な幾何的設定を超えた双対性共変なストリング理論の定式化を提供する。
• トポロジカル項の膜への上昇により、$(H, F, Q, R)$係数でパrameter化された一般化されたウェッズ＝ツミノ項が得られ、それらはロイテンベルグ括弧を実現する。
• バイベクトル $\Pi^{ij}$ は $\wedge^2 T_X$ のグローバルセクションである必要はなく、$O(d,d,\mathbb{Z})$ 変換により貼り合わせ可能であり、これが非幾何的性の原因である。
• すべての既知の例において、$(H, F, Q, R)$フラックス係数はT双対性の下で互いに変換されるが、$\Pi^{ij}$ は非自明に変換されるため、それが非幾何的性の源であることが確認された。
• $R$-空間（$T^3$ に $H$-フラックスを施した三重T双対）は、少なくとも古典的にはストリング理論ではなく、膜シグマ模型によって記述可能であることが示された。
• ゲージ化WZWモデルは、非ゼロの $Q$-フラックスを持つ幾何的背景の明示的例を提供し、曲率と $Q$-フラックスのバランスを取るNSスーパーリアリティ方程式の新しい解を示唆している。